Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  submateqlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submateqlem2 29202
Description: Lemma for submateq 29203. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
submateqlem2.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
submateqlem2.k (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑁))
submateqlem2.m (𝜑𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
submateqlem2.1 (𝜑𝑀 < 𝐾)
Assertion
Ref Expression
submateqlem2 (𝜑 → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ∧ 𝑀 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Proof of Theorem submateqlem2
StepHypRef Expression
1 fz1ssnn 12243 . . . . . 6 (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ
2 submateqlem2.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
31, 2sseldi 3566 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
43nnge1d 10940 . . . 4 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
5 submateqlem2.1 . . . 4 (𝜑𝑀 < 𝐾)
64, 5jca 553 . . 3 (𝜑 → (1 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐾))
73nnzd 11357 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8 1zzd 11285 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
9 fz1ssnn 12243 . . . . . 6 (1...𝑁) ⊆ ℕ
10 submateqlem2.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑁))
119, 10sseldi 3566 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
1211nnzd 11357 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
13 elfzo 12341 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (1 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐾)))
147, 8, 12, 13syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (1 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐾)))
156, 14mpbird 246 . 2 (𝜑𝑀 ∈ (1..^𝐾))
162orcd 406 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁))
17 submateqlem2.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
18 nnuz 11599 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
1917, 18syl6eleq 2698 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
20 fzm1 12289 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝑀 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁)))
2119, 20syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁)))
2216, 21mpbird 246 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (1...𝑁))
233nnred 10912 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2423, 5ltned 10052 . . . 4 (𝜑𝑀𝐾)
25 nelsn 4159 . . . 4 (𝑀𝐾 → ¬ 𝑀 ∈ {𝐾})
2624, 25syl 17 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ {𝐾})
2722, 26eldifd 3551 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾}))
2815, 27jca 553 1 (𝜑 → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ∧ 𝑀 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  cdif 3537  {csn 4125   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  cn 10897  cz 11254  cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335
This theorem is referenced by:  submateq  29203
  Copyright terms: Public domain W3C validator