MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subislly Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subislly 21094
Description: The property of a subspace being locally 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
subislly ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) → ((𝐽t 𝐵) ∈ Locally 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑥𝐵)∃𝑢𝐽 ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥𝑦𝑢 ∧ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑦,𝐴   𝑢,𝐵,𝑥,𝑦   𝑢,𝐽,𝑥,𝑦   𝑢,𝑉,𝑥,𝑦

Proof of Theorem subislly
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resttop 20774 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) → (𝐽t 𝐵) ∈ Top)
2 islly 21081 . . . 4 ((𝐽t 𝐵) ∈ Locally 𝐴 ↔ ((𝐽t 𝐵) ∈ Top ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐽t 𝐵)∀𝑦𝑧𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)))
32baib 942 . . 3 ((𝐽t 𝐵) ∈ Top → ((𝐽t 𝐵) ∈ Locally 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐽t 𝐵)∀𝑦𝑧𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)))
41, 3syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) → ((𝐽t 𝐵) ∈ Locally 𝐴 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐽t 𝐵)∀𝑦𝑧𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)))
5 vex 3176 . . . . 5 𝑥 ∈ V
65inex1 4727 . . . 4 (𝑥𝐵) ∈ V
76a1i 11 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑥𝐽) → (𝑥𝐵) ∈ V)
8 elrest 15911 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) → (𝑧 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐽 𝑧 = (𝑥𝐵)))
9 simpr 476 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) → 𝑧 = (𝑥𝐵))
109raleqdv 3121 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) → (∀𝑦𝑧𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑥𝐵)∃𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)))
11 elin 3758 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧) ↔ (𝑤 ∈ (𝐽t 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 𝑧))
1211anbi1i 727 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝑤 ∈ (𝐽t 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 𝑧) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)))
13 anass 679 . . . . . . . 8 (((𝑤 ∈ (𝐽t 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 𝑧) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑤 ∈ (𝐽t 𝐵) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝑧 ∧ (𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴))))
1412, 13bitri 263 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧) ∧ (𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)) ↔ (𝑤 ∈ (𝐽t 𝐵) ∧ (𝑤 ∈ 𝒫 𝑧 ∧ (𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴))))
1514rexbii2 3021 . . . . . 6 (∃𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐽t 𝐵)(𝑤 ∈ 𝒫 𝑧 ∧ (𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)))
16 vex 3176 . . . . . . . . 9 𝑢 ∈ V
1716inex1 4727 . . . . . . . 8 (𝑢𝐵) ∈ V
1817a1i 11 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑢𝐽) → (𝑢𝐵) ∈ V)
19 elrest 15911 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) → (𝑤 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ ∃𝑢𝐽 𝑤 = (𝑢𝐵)))
2019ad2antrr 758 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) → (𝑤 ∈ (𝐽t 𝐵) ↔ ∃𝑢𝐽 𝑤 = (𝑢𝐵)))
21 3anass 1035 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ 𝒫 𝑧𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴) ↔ (𝑤 ∈ 𝒫 𝑧 ∧ (𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)))
22 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → 𝑤 = (𝑢𝐵))
23 simpllr 795 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → 𝑧 = (𝑥𝐵))
2422, 23sseq12d 3597 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → (𝑤𝑧 ↔ (𝑢𝐵) ⊆ (𝑥𝐵)))
25 selpw 4115 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ 𝒫 𝑧𝑤𝑧)
26 inss2 3796 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢𝐵) ⊆ 𝐵
2726biantru 525 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ (𝑢𝐵) ⊆ 𝐵))
28 ssin 3797 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥 ∧ (𝑢𝐵) ⊆ 𝐵) ↔ (𝑢𝐵) ⊆ (𝑥𝐵))
2927, 28bitri 263 . . . . . . . . . 10 ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥 ↔ (𝑢𝐵) ⊆ (𝑥𝐵))
3024, 25, 293bitr4g 302 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → (𝑤 ∈ 𝒫 𝑧 ↔ (𝑢𝐵) ⊆ 𝑥))
3122eleq2d 2673 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ (𝑢𝐵)))
32 inss2 3796 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐵) ⊆ 𝐵
33 simplr 788 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝑥𝐵))
3432, 33sseldi 3566 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → 𝑦𝐵)
3534biantrud 527 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → (𝑦𝑢 ↔ (𝑦𝑢𝑦𝐵)))
36 elin 3758 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝑢𝐵) ↔ (𝑦𝑢𝑦𝐵))
3735, 36syl6bbr 277 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → (𝑦𝑢𝑦 ∈ (𝑢𝐵)))
3831, 37bitr4d 270 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → (𝑦𝑤𝑦𝑢))
3922oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) = ((𝐽t 𝐵) ↾t (𝑢𝐵)))
40 simp-4l 802 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → 𝐽 ∈ Top)
4126a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → (𝑢𝐵) ⊆ 𝐵)
42 simplr 788 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) → 𝐵𝑉)
4342ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → 𝐵𝑉)
44 restabs 20779 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑢𝐵) ⊆ 𝐵𝐵𝑉) → ((𝐽t 𝐵) ↾t (𝑢𝐵)) = (𝐽t (𝑢𝐵)))
4540, 41, 43, 44syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → ((𝐽t 𝐵) ↾t (𝑢𝐵)) = (𝐽t (𝑢𝐵)))
4639, 45eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) = (𝐽t (𝑢𝐵)))
4746eleq1d 2672 . . . . . . . . 9 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → (((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴 ↔ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴))
4830, 38, 473anbi123d 1391 . . . . . . . 8 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → ((𝑤 ∈ 𝒫 𝑧𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥𝑦𝑢 ∧ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴)))
4921, 48syl5bbr 273 . . . . . . 7 (((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑢𝐵)) → ((𝑤 ∈ 𝒫 𝑧 ∧ (𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)) ↔ ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥𝑦𝑢 ∧ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴)))
5018, 20, 49rexxfr2d 4809 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) → (∃𝑤 ∈ (𝐽t 𝐵)(𝑤 ∈ 𝒫 𝑧 ∧ (𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴)) ↔ ∃𝑢𝐽 ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥𝑦𝑢 ∧ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴)))
5115, 50syl5bb 271 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥𝐵)) → (∃𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴) ↔ ∃𝑢𝐽 ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥𝑦𝑢 ∧ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴)))
5251ralbidva 2968 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) → (∀𝑦 ∈ (𝑥𝐵)∃𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑥𝐵)∃𝑢𝐽 ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥𝑦𝑢 ∧ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴)))
5310, 52bitrd 267 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) → (∀𝑦𝑧𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑥𝐵)∃𝑢𝐽 ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥𝑦𝑢 ∧ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴)))
547, 8, 53ralxfr2d 4808 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) → (∀𝑧 ∈ (𝐽t 𝐵)∀𝑦𝑧𝑤 ∈ ((𝐽t 𝐵) ∩ 𝒫 𝑧)(𝑦𝑤 ∧ ((𝐽t 𝐵) ↾t 𝑤) ∈ 𝐴) ↔ ∀𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑥𝐵)∃𝑢𝐽 ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥𝑦𝑢 ∧ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴)))
554, 54bitrd 267 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝑉) → ((𝐽t 𝐵) ∈ Locally 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑥𝐵)∃𝑢𝐽 ((𝑢𝐵) ⊆ 𝑥𝑦𝑢 ∧ (𝐽t (𝑢𝐵)) ∈ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  wrex 2897  Vcvv 3173  cin 3539  wss 3540  𝒫 cpw 4108  (class class class)co 6549  t crest 15904  Topctop 20517  Locally clly 21077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845  df-fi 8200  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-top 20521  df-bases 20522  df-lly 21079
This theorem is referenced by:  iccllyscon  30486
  Copyright terms: Public domain W3C validator