Theorem subcid 16330

Description: The identity in a subcategory is the same as the original category. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
subccat.1	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
subccat.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
subccatid.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
subccatid.2	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
subcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ((Id‘𝐷)‘𝑋))

Proof of Theorem subcid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subccat.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		subccat.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
3		subccatid.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
4		subccatid.2	. . . . 5 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
5	1, 2, 3, 4	subccatid 16329	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 ‘𝑥))))
6	5	simprd 478	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 ‘𝑥)))
7		simpr 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
8	7	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ( 1 ‘𝑥) = ( 1 ‘𝑋))
9		subcid.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
10		fvex 6113	. . . 4 ⊢ ( 1 ‘𝑋) ∈ V
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) ∈ V)
12	6, 8, 9, 11	fvmptd 6197	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘𝐷)‘𝑋) = ( 1 ‘𝑋))
13	12	eqcomd 2616	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ((Id‘𝐷)‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Catccat 16148  Idccid 16149   ↾_cat cresc 16291  Subcatcsubc 16292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-hom 15793  df-cco 15794  df-cat 16152  df-cid 16153  df-homf 16154  df-ssc 16293  df-resc 16294  df-subc 16295

This theorem is referenced by:  subsubc  16336  funcres  16379  funcres2b  16380  rngcid  41771  ringcid  41817