Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strlemor2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strlemor2 15797
 Description: Add two elements to the end of a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strlemor.f (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝐼))
strlemor.i 𝐼 ∈ ℕ0
strlemor.o 𝐼 < 𝐽
strlemor.j 𝐽 ∈ ℕ
strlemor.a 𝐴 = 𝐽
strlemor2.o 𝐽 < 𝐾
strlemor2.k 𝐾 ∈ ℕ
strlemor2.b 𝐵 = 𝐾
strlemor2.g 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩})
Assertion
Ref Expression
strlemor2 (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 ⊆ (1...𝐾))

Proof of Theorem strlemor2
StepHypRef Expression
1 strlemor.f . . 3 (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝐼))
2 strlemor.i . . 3 𝐼 ∈ ℕ0
3 strlemor.o . . 3 𝐼 < 𝐽
4 strlemor.j . . 3 𝐽 ∈ ℕ
5 strlemor.a . . 3 𝐴 = 𝐽
6 eqid 2610 . . 3 (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩}) = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩})
71, 2, 3, 4, 5, 6strlemor1 15796 . 2 (Fun (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩}) ∧ dom (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩}) ⊆ (1...𝐽))
84nnnn0i 11177 . 2 𝐽 ∈ ℕ0
9 strlemor2.o . 2 𝐽 < 𝐾
10 strlemor2.k . 2 𝐾 ∈ ℕ
11 strlemor2.b . 2 𝐵 = 𝐾
12 df-pr 4128 . . . 4 {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} = ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝑌⟩})
1312uneq2i 3726 . . 3 (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩}) = (𝐹 ∪ ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝑌⟩}))
14 strlemor2.g . . 3 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩})
15 unass 3732 . . 3 ((𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝑌⟩}) = (𝐹 ∪ ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝑌⟩}))
1613, 14, 153eqtr4i 2642 . 2 𝐺 = ((𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩}) ∪ {⟨𝐵, 𝑌⟩})
177, 8, 9, 10, 11, 16strlemor1 15796 1 (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 ⊆ (1...𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  Fun wfun 5798  (class class class)co 6549  1c1 9816   < clt 9953  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198 This theorem is referenced by:  strlemor3  15798
 Copyright terms: Public domain W3C validator