Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem58 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem58 38951
 Description: This theorem proves Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. Here D is used to represent the set A of Lemma 2, because here the variable A is used for the subalgebra of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem58.1 𝑡𝐷
stoweidlem58.2 𝑡𝑈
stoweidlem58.3 𝑡𝜑
stoweidlem58.4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem58.5 𝑇 = 𝐽
stoweidlem58.6 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem58.7 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem58.8 (𝜑𝐴𝐶)
stoweidlem58.9 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem58.10 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem58.11 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑎) ∈ 𝐴)
stoweidlem58.12 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
stoweidlem58.13 (𝜑𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
stoweidlem58.14 (𝜑𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽))
stoweidlem58.15 (𝜑 → (𝐵𝐷) = ∅)
stoweidlem58.16 𝑈 = (𝑇𝐵)
stoweidlem58.17 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem58.18 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem58 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑎,𝑟,𝑡,𝐴,𝑞   𝐷,𝑎,𝑓,𝑟   𝑇,𝑎,𝑓,𝑟,𝑡   𝑈,𝑎,𝑓,𝑟   𝜑,𝑎,𝑓,𝑟   𝑓,𝑔,𝑟,𝑡,𝐴   𝑓,𝐸,𝑔,𝑟,𝑡   𝑥,𝑓,𝑔,𝑡,𝐴   𝐵,𝑓,𝑔,𝑟   𝑓,𝐽,𝑔,𝑟,𝑡   𝑔,𝑞,𝐷   𝑇,𝑔   𝑈,𝑔   𝜑,𝑔   𝐷,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝜑,𝑞   𝑡,𝐾   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑡)   𝐵(𝑡,𝑞,𝑎)   𝐶(𝑥,𝑡,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞,𝑎)   𝐷(𝑡)   𝑈(𝑥,𝑡)   𝐸(𝑞,𝑎)   𝐽(𝑥,𝑞,𝑎)   𝐾(𝑥,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞,𝑎)

Proof of Theorem stoweidlem58
Dummy variables 𝑒 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem58.1 . . 3 𝑡𝐷
2 stoweidlem58.3 . . . 4 𝑡𝜑
31nfeq1 2764 . . . 4 𝑡 𝐷 = ∅
42, 3nfan 1816 . . 3 𝑡(𝜑𝐷 = ∅)
5 eqid 2610 . . 3 (𝑡𝑇 ↦ 1) = (𝑡𝑇 ↦ 1)
6 stoweidlem58.5 . . 3 𝑇 = 𝐽
7 stoweidlem58.11 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑎) ∈ 𝐴)
87adantlr 747 . . 3 (((𝜑𝐷 = ∅) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑎) ∈ 𝐴)
9 stoweidlem58.13 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
109adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐷 = ∅) → 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
11 stoweidlem58.17 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1211adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐷 = ∅) → 𝐸 ∈ ℝ+)
13 simpr 476 . . 3 ((𝜑𝐷 = ∅) → 𝐷 = ∅)
141, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 13stoweidlem18 38911 . 2 ((𝜑𝐷 = ∅) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡)))
15 stoweidlem58.2 . . 3 𝑡𝑈
16 nfcv 2751 . . . . 5 𝑡
171, 16nfne 2882 . . . 4 𝑡 𝐷 ≠ ∅
182, 17nfan 1816 . . 3 𝑡(𝜑𝐷 ≠ ∅)
19 eqid 2610 . . 3 {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} = {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}
20 eqid 2610 . . 3 {𝑤𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))} = {𝑤𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))}
21 stoweidlem58.4 . . 3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
22 stoweidlem58.6 . . 3 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
23 stoweidlem58.16 . . 3 𝑈 = (𝑇𝐵)
24 stoweidlem58.7 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
2524adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐷 ≠ ∅) → 𝐽 ∈ Comp)
26 stoweidlem58.8 . . . 4 (𝜑𝐴𝐶)
2726adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐷 ≠ ∅) → 𝐴𝐶)
28 stoweidlem58.9 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
29283adant1r 1311 . . 3 (((𝜑𝐷 ≠ ∅) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
30 stoweidlem58.10 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
31303adant1r 1311 . . 3 (((𝜑𝐷 ≠ ∅) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
327adantlr 747 . . 3 (((𝜑𝐷 ≠ ∅) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑎) ∈ 𝐴)
33 stoweidlem58.12 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
3433adantlr 747 . . 3 (((𝜑𝐷 ≠ ∅) ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
359adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐷 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
36 stoweidlem58.14 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽))
3736adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐷 ≠ ∅) → 𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽))
38 stoweidlem58.15 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐷) = ∅)
3938adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐷 ≠ ∅) → (𝐵𝐷) = ∅)
40 simpr 476 . . 3 ((𝜑𝐷 ≠ ∅) → 𝐷 ≠ ∅)
4111adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐷 ≠ ∅) → 𝐸 ∈ ℝ+)
42 stoweidlem58.18 . . . 4 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
4342adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐷 ≠ ∅) → 𝐸 < (1 / 3))
441, 15, 18, 19, 20, 21, 6, 22, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 43stoweidlem57 38950 . 2 ((𝜑𝐷 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡)))
4514, 44pm2.61dane 2869 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  Ⅎwnfc 2738   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  3c3 10948  ℝ+crp 11708  (,)cioo 12046  topGenctg 15921  Clsdccld 20630   Cn ccn 20838  Compccmp 20999 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937 This theorem is referenced by:  stoweidlem59  38952
 Copyright terms: Public domain W3C validator