Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stle0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stle0i 28482
 Description: If a state is less than or equal to 0, it is 0. (Contributed by NM, 11-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sto1.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
stle0i (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) ≤ 0 ↔ (𝑆𝐴) = 0))

Proof of Theorem stle0i
StepHypRef Expression
1 sto1.1 . . . . . 6 𝐴C
2 stge0 28467 . . . . . 6 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → 0 ≤ (𝑆𝐴)))
31, 2mpi 20 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → 0 ≤ (𝑆𝐴))
43anim2i 591 . . . 4 (((𝑆𝐴) ≤ 0 ∧ 𝑆 ∈ States) → ((𝑆𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆𝐴)))
54expcom 450 . . 3 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) ≤ 0 → ((𝑆𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆𝐴))))
6 stcl 28459 . . . . 5 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → (𝑆𝐴) ∈ ℝ))
71, 6mpi 20 . . . 4 (𝑆 ∈ States → (𝑆𝐴) ∈ ℝ)
8 0re 9919 . . . 4 0 ∈ ℝ
9 letri3 10002 . . . 4 (((𝑆𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑆𝐴) = 0 ↔ ((𝑆𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆𝐴))))
107, 8, 9sylancl 693 . . 3 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) = 0 ↔ ((𝑆𝐴) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑆𝐴))))
115, 10sylibrd 248 . 2 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) ≤ 0 → (𝑆𝐴) = 0))
12 0le0 10987 . . 3 0 ≤ 0
13 breq1 4586 . . 3 ((𝑆𝐴) = 0 → ((𝑆𝐴) ≤ 0 ↔ 0 ≤ 0))
1412, 13mpbiri 247 . 2 ((𝑆𝐴) = 0 → (𝑆𝐴) ≤ 0)
1511, 14impbid1 214 1 (𝑆 ∈ States → ((𝑆𝐴) ≤ 0 ↔ (𝑆𝐴) = 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  ℝcr 9814  0cc0 9815   ≤ cle 9954   Cℋ cch 27170  Statescst 27203 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-hilex 27240 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-icc 12053  df-sh 27448  df-ch 27462  df-st 28454 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator