HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stcltr2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stcltr2i 28518
Description: Property of a strong classical state. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
stcltr1.1 (𝜑 ↔ (𝑆 ∈ States ∧ ∀𝑥C𝑦C (((𝑆𝑥) = 1 → (𝑆𝑦) = 1) → 𝑥𝑦)))
stcltr1.2 𝐴C
Assertion
Ref Expression
stcltr2i (𝜑 → ((𝑆𝐴) = 1 → 𝐴 = ℋ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem stcltr2i
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . . 3 ((𝑆𝐴) = 1 → ((𝑆‘ ℋ) = 1 → (𝑆𝐴) = 1))
2 stcltr1.1 . . . 4 (𝜑 ↔ (𝑆 ∈ States ∧ ∀𝑥C𝑦C (((𝑆𝑥) = 1 → (𝑆𝑦) = 1) → 𝑥𝑦)))
3 helch 27484 . . . 4 ℋ ∈ C
4 stcltr1.2 . . . 4 𝐴C
52, 3, 4stcltr1i 28517 . . 3 (𝜑 → (((𝑆‘ ℋ) = 1 → (𝑆𝐴) = 1) → ℋ ⊆ 𝐴))
61, 5syl5 33 . 2 (𝜑 → ((𝑆𝐴) = 1 → ℋ ⊆ 𝐴))
74chssii 27472 . . 3 𝐴 ⊆ ℋ
8 eqss 3583 . . 3 (𝐴 = ℋ ↔ (𝐴 ⊆ ℋ ∧ ℋ ⊆ 𝐴))
97, 8mpbiran 955 . 2 (𝐴 = ℋ ↔ ℋ ⊆ 𝐴)
106, 9syl6ibr 241 1 (𝜑 → ((𝑆𝐴) = 1 → 𝐴 = ℋ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  wss 3540  cfv 5804  1c1 9816  chil 27160   C cch 27170  Statescst 27203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hv0cl 27244  ax-hfvmul 27246
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-map 7746  df-nn 10898  df-hlim 27213  df-sh 27448  df-ch 27462
This theorem is referenced by:  stcltrlem1  28519
  Copyright terms: Public domain W3C validator