Theorem ssdifsn 42228

Description: Subset of a set with an element removed. (Contributed by Emmett Weisz, 7-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ssdifsn	⊢ (𝐴 ⊆ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ssdifsn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss3 3558	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}))
2		eldifsn 4260	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶))
3	2	ralbii 2963	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶))
4	1, 3	bitri 263	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶))
5		r19.26 3046	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 𝐶) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝐶))
6	4, 5	bitri 263	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝐶))
7		dfss3 3558	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)
8	7	bicomi 213	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵)
9		neirr 2791	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐶 ≠ 𝐶
10		neeq1 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐶))
11	10	rspccv 3279	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝐶 → (𝐶 ∈ 𝐴 → 𝐶 ≠ 𝐶))
12	9, 11	mtoi 189	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝐶 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
13		eleq1 2676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))
14	13	biimpcd 238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 = 𝐶 → 𝐶 ∈ 𝐴))
15	14	con3rr3 150	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑥 = 𝐶))
16		df-ne 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≠ 𝐶 ↔ ¬ 𝑥 = 𝐶)
17	15, 16	syl6ibr 241	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ≠ 𝐶))
18	17	ralrimiv 2948	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝐶)
19	12, 18	impbii 198	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴)
20	8, 19	anbi12i 729	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≠ 𝐶) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴))
21	6, 20	bitri 263	1 ⊢ (𝐴 ⊆ (𝐵 ∖ {𝐶}) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-v 3175  df-dif 3543  df-in 3547  df-ss 3554  df-sn 4126

This theorem is referenced by:  elsetrecslem  42243