Theorem sqgt0sr 9806

Description: The square of a nonzero signed real is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
sqgt0sr	⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ≠ 0R) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))

Proof of Theorem sqgt0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 9780	. . . . 5 ⊢ 0R ∈ R
2		ltsosr 9794	. . . . . 6 ⊢ <R Or R
3		sotrieq 4986	. . . . . 6 ⊢ (( <R Or R ∧ (𝐴 ∈ R ∧ 0R ∈ R)) → (𝐴 = 0R ↔ ¬ (𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴)))
4	2, 3	mpan 702	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 0R ∈ R) → (𝐴 = 0R ↔ ¬ (𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴)))
5	1, 4	mpan2 703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 = 0R ↔ ¬ (𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴)))
6	5	necon2abid 2824	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴) ↔ 𝐴 ≠ 0R))
7		m1r 9782	. . . . . . . . 9 ⊢ -1R ∈ R
8		mulclsr 9784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
9	7, 8	mpan2 703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
10		ltasr 9800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) ∈ R → (𝐴 <R 0R ↔ ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) <R ((𝐴 ·R -1R) +R 0R)))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 <R 0R ↔ ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) <R ((𝐴 ·R -1R) +R 0R)))
12		addcomsr 9787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R))
13		pn0sr 9801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
14	12, 13	syl5eq 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = 0R)
15		0idsr 9797	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) ∈ R → ((𝐴 ·R -1R) +R 0R) = (𝐴 ·R -1R))
16	9, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R -1R) +R 0R) = (𝐴 ·R -1R))
17	14, 16	breq12d 4596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ R → (((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) <R ((𝐴 ·R -1R) +R 0R) ↔ 0R <R (𝐴 ·R -1R)))
18	11, 17	bitrd 267	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 <R 0R ↔ 0R <R (𝐴 ·R -1R)))
19		mulgt0sr 9805	. . . . . . 7 ⊢ ((0R <R (𝐴 ·R -1R) ∧ 0R <R (𝐴 ·R -1R)) → 0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)))
20	19	anidms 675	. . . . . 6 ⊢ (0R <R (𝐴 ·R -1R) → 0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)))
21	18, 20	syl6bi 242	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 <R 0R → 0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R))))
22		mulcomsr 9789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-1R ·R 𝐴) = (𝐴 ·R -1R)
23	22	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1R ·R 𝐴) ·R -1R) = ((𝐴 ·R -1R) ·R -1R)
24		mulasssr 9790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1R ·R 𝐴) ·R -1R) = (-1R ·R (𝐴 ·R -1R))
25		mulasssr 9790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) ·R -1R) = (𝐴 ·R (-1R ·R -1R))
26	23, 24, 25	3eqtr3i 2640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1R ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R (-1R ·R -1R))
27		m1m1sr 9793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1R ·R -1R) = 1R
28	27	oveq2i 6560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ·R (-1R ·R -1R)) = (𝐴 ·R 1R)
29	26, 28	eqtri 2632	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R 1R)
30	29	oveq2i 6560	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ·R (-1R ·R (𝐴 ·R -1R))) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 1R))
31		mulasssr 9790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R (-1R ·R (𝐴 ·R -1R)))
32		mulasssr 9790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 1R))
33	30, 31, 32	3eqtr4i 2642	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) = ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R)
34		mulclsr 9784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → (𝐴 ·R 𝐴) ∈ R)
35		1idsr 9798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ·R 𝐴) ∈ R → ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R 𝐴))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ∈ R) → ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R 𝐴))
37	36	anidms 675	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R 𝐴))
38	33, 37	syl5eq 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R 𝐴))
39	38	breq2d 4595	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → (0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) ↔ 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
40	21, 39	sylibd 228	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 <R 0R → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
41		mulgt0sr 9805	. . . . . 6 ⊢ ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐴) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))
42	41	anidms 675	. . . . 5 ⊢ (0R <R 𝐴 → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))
43	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ R → (0R <R 𝐴 → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
44	40, 43	jaod 394	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ R → ((𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
45	6, 44	sylbird 249	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ≠ 0R → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
46	45	imp 444	1 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐴 ≠ 0R) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583   Or wor 4958  (class class class)co 6549  Rcnr 9566  0_Rc0r 9567  1_Rc1r 9568  -1_Rcm1r 9569   +_R cplr 9570   ·_R cmr 9571   <_R cltr 9572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-ni 9573  df-pli 9574  df-mi 9575  df-lti 9576  df-plpq 9609  df-mpq 9610  df-ltpq 9611  df-enq 9612  df-nq 9613  df-erq 9614  df-plq 9615  df-mq 9616  df-1nq 9617  df-rq 9618  df-ltnq 9619  df-np 9682  df-1p 9683  df-plp 9684  df-mp 9685  df-ltp 9686  df-enr 9756  df-nr 9757  df-plr 9758  df-mr 9759  df-ltr 9760  df-0r 9761  df-1r 9762  df-m1r 9763

This theorem is referenced by:  recexsr  9807