MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqgt0sr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqgt0sr 9783
Description: The square of a nonzero signed real is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
sqgt0sr ((𝐴R𝐴 ≠ 0R) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))

Proof of Theorem sqgt0sr
StepHypRef Expression
1 0r 9757 . . . . 5 0RR
2 ltsosr 9771 . . . . . 6 <R Or R
3 sotrieq 4976 . . . . . 6 (( <R Or R ∧ (𝐴R ∧ 0RR)) → (𝐴 = 0R ↔ ¬ (𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴)))
42, 3mpan 701 . . . . 5 ((𝐴R ∧ 0RR) → (𝐴 = 0R ↔ ¬ (𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴)))
51, 4mpan2 702 . . . 4 (𝐴R → (𝐴 = 0R ↔ ¬ (𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴)))
65necon2abid 2823 . . 3 (𝐴R → ((𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴) ↔ 𝐴 ≠ 0R))
7 m1r 9759 . . . . . . . . 9 -1RR
8 mulclsr 9761 . . . . . . . . 9 ((𝐴R ∧ -1RR) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
97, 8mpan2 702 . . . . . . . 8 (𝐴R → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
10 ltasr 9777 . . . . . . . 8 ((𝐴 ·R -1R) ∈ R → (𝐴 <R 0R ↔ ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) <R ((𝐴 ·R -1R) +R 0R)))
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝐴R → (𝐴 <R 0R ↔ ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) <R ((𝐴 ·R -1R) +R 0R)))
12 addcomsr 9764 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R))
13 pn0sr 9778 . . . . . . . . 9 (𝐴R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
1412, 13syl5eq 2655 . . . . . . . 8 (𝐴R → ((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) = 0R)
15 0idsr 9774 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ·R -1R) ∈ R → ((𝐴 ·R -1R) +R 0R) = (𝐴 ·R -1R))
169, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴R → ((𝐴 ·R -1R) +R 0R) = (𝐴 ·R -1R))
1714, 16breq12d 4590 . . . . . . 7 (𝐴R → (((𝐴 ·R -1R) +R 𝐴) <R ((𝐴 ·R -1R) +R 0R) ↔ 0R <R (𝐴 ·R -1R)))
1811, 17bitrd 266 . . . . . 6 (𝐴R → (𝐴 <R 0R ↔ 0R <R (𝐴 ·R -1R)))
19 mulgt0sr 9782 . . . . . . 7 ((0R <R (𝐴 ·R -1R) ∧ 0R <R (𝐴 ·R -1R)) → 0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)))
2019anidms 674 . . . . . 6 (0R <R (𝐴 ·R -1R) → 0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)))
2118, 20syl6bi 241 . . . . 5 (𝐴R → (𝐴 <R 0R → 0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R))))
22 mulcomsr 9766 . . . . . . . . . . . 12 (-1R ·R 𝐴) = (𝐴 ·R -1R)
2322oveq1i 6537 . . . . . . . . . . 11 ((-1R ·R 𝐴) ·R -1R) = ((𝐴 ·R -1R) ·R -1R)
24 mulasssr 9767 . . . . . . . . . . 11 ((-1R ·R 𝐴) ·R -1R) = (-1R ·R (𝐴 ·R -1R))
25 mulasssr 9767 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ·R -1R) ·R -1R) = (𝐴 ·R (-1R ·R -1R))
2623, 24, 253eqtr3i 2639 . . . . . . . . . 10 (-1R ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R (-1R ·R -1R))
27 m1m1sr 9770 . . . . . . . . . . 11 (-1R ·R -1R) = 1R
2827oveq2i 6538 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ·R (-1R ·R -1R)) = (𝐴 ·R 1R)
2926, 28eqtri 2631 . . . . . . . . 9 (-1R ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R 1R)
3029oveq2i 6538 . . . . . . . 8 (𝐴 ·R (-1R ·R (𝐴 ·R -1R))) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 1R))
31 mulasssr 9767 . . . . . . . 8 ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R (-1R ·R (𝐴 ·R -1R)))
32 mulasssr 9767 . . . . . . . 8 ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R (𝐴 ·R 1R))
3330, 31, 323eqtr4i 2641 . . . . . . 7 ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) = ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R)
34 mulclsr 9761 . . . . . . . . 9 ((𝐴R𝐴R) → (𝐴 ·R 𝐴) ∈ R)
35 1idsr 9775 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ·R 𝐴) ∈ R → ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R 𝐴))
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴R𝐴R) → ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R 𝐴))
3736anidms 674 . . . . . . 7 (𝐴R → ((𝐴 ·R 𝐴) ·R 1R) = (𝐴 ·R 𝐴))
3833, 37syl5eq 2655 . . . . . 6 (𝐴R → ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) = (𝐴 ·R 𝐴))
3938breq2d 4589 . . . . 5 (𝐴R → (0R <R ((𝐴 ·R -1R) ·R (𝐴 ·R -1R)) ↔ 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
4021, 39sylibd 227 . . . 4 (𝐴R → (𝐴 <R 0R → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
41 mulgt0sr 9782 . . . . . 6 ((0R <R 𝐴 ∧ 0R <R 𝐴) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))
4241anidms 674 . . . . 5 (0R <R 𝐴 → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))
4342a1i 11 . . . 4 (𝐴R → (0R <R 𝐴 → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
4440, 43jaod 393 . . 3 (𝐴R → ((𝐴 <R 0R ∨ 0R <R 𝐴) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
456, 44sylbird 248 . 2 (𝐴R → (𝐴 ≠ 0R → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴)))
4645imp 443 1 ((𝐴R𝐴 ≠ 0R) → 0R <R (𝐴 ·R 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577   Or wor 4948  (class class class)co 6527  Rcnr 9543  0Rc0r 9544  1Rc1r 9545  -1Rcm1r 9546   +R cplr 9547   ·R cmr 9548   <R cltr 9549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-er 7606  df-ec 7608  df-qs 7612  df-ni 9550  df-pli 9551  df-mi 9552  df-lti 9553  df-plpq 9586  df-mpq 9587  df-ltpq 9588  df-enq 9589  df-nq 9590  df-erq 9591  df-plq 9592  df-mq 9593  df-1nq 9594  df-rq 9595  df-ltnq 9596  df-np 9659  df-1p 9660  df-plp 9661  df-mp 9662  df-ltp 9663  df-enr 9733  df-nr 9734  df-plr 9735  df-mr 9736  df-ltr 9737  df-0r 9738  df-1r 9739  df-m1r 9740
This theorem is referenced by:  recexsr  9784
  Copyright terms: Public domain W3C validator