Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqeqori Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqeqori 12838
 Description: The squares of two complex numbers are equal iff one number equals the other or its negative. Lemma 15-4.7 of [Gleason] p. 311 and its converse. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
binom2.1 𝐴 ∈ ℂ
binom2.2 𝐵 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
sqeqori ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵))

Proof of Theorem sqeqori
StepHypRef Expression
1 binom2.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
2 binom2.2 . . . . 5 𝐵 ∈ ℂ
31, 2subsqi 12837 . . . 4 ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵))
43eqeq1i 2615 . . 3 (((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = 0 ↔ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)) = 0)
51sqcli 12806 . . . 4 (𝐴↑2) ∈ ℂ
62sqcli 12806 . . . 4 (𝐵↑2) ∈ ℂ
75, 6subeq0i 10240 . . 3 (((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = 0 ↔ (𝐴↑2) = (𝐵↑2))
81, 2addcli 9923 . . . 4 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
91, 2subcli 10236 . . . 4 (𝐴𝐵) ∈ ℂ
108, 9mul0ori 10554 . . 3 (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)) = 0 ↔ ((𝐴 + 𝐵) = 0 ∨ (𝐴𝐵) = 0))
114, 7, 103bitr3i 289 . 2 ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ ((𝐴 + 𝐵) = 0 ∨ (𝐴𝐵) = 0))
12 orcom 401 . 2 (((𝐴 + 𝐵) = 0 ∨ (𝐴𝐵) = 0) ↔ ((𝐴𝐵) = 0 ∨ (𝐴 + 𝐵) = 0))
131, 2subeq0i 10240 . . 3 ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵)
141, 2subnegi 10239 . . . . 5 (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵)
1514eqeq1i 2615 . . . 4 ((𝐴 − -𝐵) = 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0)
162negcli 10228 . . . . 5 -𝐵 ∈ ℂ
171, 16subeq0i 10240 . . . 4 ((𝐴 − -𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = -𝐵)
1815, 17bitr3i 265 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = -𝐵)
1913, 18orbi12i 542 . 2 (((𝐴𝐵) = 0 ∨ (𝐴 + 𝐵) = 0) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵))
2011, 12, 193bitri 285 1 ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   ∨ wo 382   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  -cneg 10146  2c2 10947  ↑cexp 12722 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723 This theorem is referenced by:  subsq0i  12839  sqeqor  12840  sinhalfpilem  24019
 Copyright terms: Public domain W3C validator