Theorem sqeqori 12838

Description: The squares of two complex numbers are equal iff one number equals the other or its negative. Lemma 15-4.7 of [Gleason] p. 311 and its converse. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
binom2.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
binom2.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
sqeqori	⊢ ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵))

Proof of Theorem sqeqori

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binom2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		binom2.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3	1, 2	subsqi 12837	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵))
4	3	eqeq1i 2615	. . 3 ⊢ (((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = 0 ↔ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) = 0)
5	1	sqcli 12806	. . . 4 ⊢ (𝐴↑2) ∈ ℂ
6	2	sqcli 12806	. . . 4 ⊢ (𝐵↑2) ∈ ℂ
7	5, 6	subeq0i 10240	. . 3 ⊢ (((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = 0 ↔ (𝐴↑2) = (𝐵↑2))
8	1, 2	addcli 9923	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
9	1, 2	subcli 10236	. . . 4 ⊢ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ
10	8, 9	mul0ori 10554	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 − 𝐵)) = 0 ↔ ((𝐴 + 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 − 𝐵) = 0))
11	4, 7, 10	3bitr3i 289	. 2 ⊢ ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ ((𝐴 + 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 − 𝐵) = 0))
12		orcom 401	. 2 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 − 𝐵) = 0) ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 + 𝐵) = 0))
13	1, 2	subeq0i 10240	. . 3 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵)
14	1, 2	subnegi 10239	. . . . 5 ⊢ (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵)
15	14	eqeq1i 2615	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − -𝐵) = 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0)
16	2	negcli 10228	. . . . 5 ⊢ -𝐵 ∈ ℂ
17	1, 16	subeq0i 10240	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − -𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = -𝐵)
18	15, 17	bitr3i 265	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = -𝐵)
19	13, 18	orbi12i 542	. 2 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ (𝐴 + 𝐵) = 0) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵))
20	11, 12, 19	3bitri 285	1 ⊢ ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = -𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∨ wo 382   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  -cneg 10146  2c2 10947  ↑cexp 12722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723

This theorem is referenced by:  subsq0i  12839  sqeqor  12840  sinhalfpilem  24019