Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  spthdep Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spthdep 40940
 Description: A simple path (at least of length 1) has different start and end points (in an undirected graph). (Contributed by AV, 31-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
spthdep ((𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃 ∧ (#‘𝐹) ≠ 0) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))

Proof of Theorem spthdep
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spthsfval 40928 . . . 4 (𝐺 ∈ V → (SPathS‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(TrailS‘𝐺)𝑝 ∧ Fun 𝑝)})
21brfvopab 6598 . . 3 (𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
3 issPth 40930 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
4 trlis1wlk 40905 . . . . . . . . . 10 (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
5 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
651wlkp 40821 . . . . . . . . . 10 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
74, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
87anim1i 590 . . . . . . . 8 ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun 𝑃))
9 df-f1 5809 . . . . . . . 8 (𝑃:(0...(#‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ↔ (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun 𝑃))
108, 9sylibr 223 . . . . . . 7 ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))
11 1wlkcl 40820 . . . . . . . . 9 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
12 nn0fz0 12306 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ (#‘𝐹) ∈ (0...(#‘𝐹)))
1312biimpi 205 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ (0...(#‘𝐹)))
14 0elfz 12305 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(#‘𝐹)))
1513, 14jca 553 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹))))
164, 11, 153syl 18 . . . . . . . 8 (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 → ((#‘𝐹) ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹))))
1716adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → ((#‘𝐹) ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹))))
1810, 17jca 553 . . . . . 6 ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝐹) ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹)))))
19 eqcom 2617 . . . . . . 7 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) ↔ (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘0))
20 f1veqaeq 6418 . . . . . . 7 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝐹) ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹)))) → ((𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (#‘𝐹) = 0))
2119, 20syl5bi 231 . . . . . 6 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ ((#‘𝐹) ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹)))) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (#‘𝐹) = 0))
2218, 21syl 17 . . . . 5 ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (#‘𝐹) = 0))
2322necon3d 2803 . . . 4 ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → ((#‘𝐹) ≠ 0 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))))
243, 23syl6bi 242 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃 → ((#‘𝐹) ≠ 0 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))))
252, 24mpcom 37 . 2 (𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃 → ((#‘𝐹) ≠ 0 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))))
2625imp 444 1 ((𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃 ∧ (#‘𝐹) ≠ 0) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  ◡ccnv 5037  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  1Walksc1wlks 40796  TrailSctrls 40899  SPathScspths 40920 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-1wlks 40800  df-trls 40901  df-spths 40924 This theorem is referenced by:  cyclnsPth  41006
 Copyright terms: Public domain W3C validator