Theorem splvalpfx 40298

Description: Value of the substring replacement operator. (Contributed by AV, 11-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
splvalpfx	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝑇 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))

Proof of Theorem splvalpfx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		splval 13353	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝑇 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
2		pfxval 40246	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐹) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))
3	2	3ad2antr1 1219	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝑇 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌)) → (𝑆 prefix 𝐹) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))
4	3	eqcomd 2616	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝑇 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌)) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) = (𝑆 prefix 𝐹))
5	4	oveq1d 6564	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝑇 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌)) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) = ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))
6	5	oveq1d 6564	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝑇 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌)) → (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))
7	1, 6	eqtrd 2644	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝑇 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (#‘𝑆)⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131  ⟨cotp 4133  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  ℕ₀cn0 11169  #chash 12979   ++ cconcat 13148   substr csubstr 13150   splice csplice 13151   prefix cpfx 40244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-splice 13159  df-pfx 40245

This theorem is referenced by: (None)