Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snstrvtxval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snstrvtxval 25712
 Description: The set of vertices of a graph without edges represented as an extensible structure with vertices as base set and no indexed edges. See vtxvalsnop 25716 for the (degenerated) case where 𝑉 = (Base‘ndx). (Contributed by AV, 23-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
snstrvtxval.v 𝑉 ∈ V
snstrvtxval.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}
Assertion
Ref Expression
snstrvtxval (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Proof of Theorem snstrvtxval
StepHypRef Expression
1 necom 2835 . . . 4 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) ↔ (Base‘ndx) ≠ 𝑉)
2 fvex 6113 . . . . 5 (Base‘ndx) ∈ V
3 snstrvtxval.v . . . . 5 𝑉 ∈ V
4 snstrvtxval.g . . . . 5 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}
52, 3, 4funsndifnop 6321 . . . 4 ((Base‘ndx) ≠ 𝑉 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
61, 5sylbi 206 . . 3 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
76iffalsed 4047 . 2 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → if(𝐺 ∈ (V × V), (1st𝐺), (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐺))
8 snex 4835 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} ∈ V
94, 8eqeltri 2684 . . 3 𝐺 ∈ V
10 vtxval 25677 . . 3 (𝐺 ∈ V → (Vtx‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (1st𝐺), (Base‘𝐺)))
119, 10mp1i 13 . 2 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (Vtx‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (1st𝐺), (Base‘𝐺)))
1241strbas 15806 . . 3 (𝑉 ∈ V → 𝑉 = (Base‘𝐺))
133, 12mp1i 13 . 2 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → 𝑉 = (Base‘𝐺))
147, 11, 133eqtr4d 2654 1 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  ifcif 4036  {csn 4125  ⟨cop 4131   × cxp 5036  ‘cfv 5804  1st c1st 7057  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  Vtxcvtx 25673 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-vtx 25675 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator