Theorem snstriedgval 25713

Description: The set of indexed edges of a graph without edges represented as an extensible structure with vertices as base set and no indexed edges. See iedgvalsnop 25717 for the (degenerated) case where 𝑉 = (Base‘ndx). (Contributed by AV, 24-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
snstrvtxval.v	⊢ 𝑉 ∈ V
snstrvtxval.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}

Assertion

Ref	Expression
snstriedgval	⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Proof of Theorem snstriedgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snstrvtxval.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}
2		snex 4835	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2684	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ V
4		iedgval 25678	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))
5	3, 4	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))
6		necom 2835	. . . 4 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) ↔ (Base‘ndx) ≠ 𝑉)
7		fvex 6113	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
8		snstrvtxval.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
9	7, 8, 1	funsndifnop 6321	. . . 4 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ 𝑉 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
10	6, 9	sylbi 206	. . 3 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
11	10	iffalsed 4047	. 2 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)) = (.ef‘𝐺))
12	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} ∈ V)
13	1, 12	syl5eqel 2692	. . . 4 ⊢ (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} → 𝐺 ∈ V)
14		edgfndxid 25670	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx)))
15	1, 13, 14	mp2b 10	. . 3 ⊢ (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx))
16		slotsbaseefdif 25672	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
17	16	nesymi 2839	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx)
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx))
19		fvex 6113	. . . . . . 7 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ V
20	19	elsn 4140	. . . . . 6 ⊢ ((.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx)} ↔ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx))
21	18, 20	sylnibr 318	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx)})
22	1	dmeqi 5247	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐺 = dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}
23		dmsnopg 5524	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ V → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} = {(Base‘ndx)})
24	8, 23	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} = {(Base‘ndx)})
25	22, 24	syl5eq 2656	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → dom 𝐺 = {(Base‘ndx)})
26	21, 25	neleqtrrd 2710	. . . 4 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺)
27		ndmfv 6128	. . . 4 ⊢ (¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺 → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
28	26, 27	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
29	15, 28	syl5eq 2656	. 2 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (.ef‘𝐺) = ∅)
30	5, 11, 29	3eqtrd 2648	1 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  ∅c0 3874  ifcif 4036  {csn 4125  ⟨cop 4131   × cxp 5036  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  2^nd c2nd 7058  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  .efcedgf 25667  iEdgciedg 25674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-edgf 25668  df-iedg 25676

This theorem is referenced by: (None)