Theorem snelpwi 4839

Description: A singleton of a set belongs to the power class of a class containing the set. (Contributed by Alan Sare, 25-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
snelpwi	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ∈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem snelpwi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4280	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
2		snex 4835	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
3	2	elpw 4114	. 2 ⊢ ({𝐴} ∈ 𝒫 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵)
4	1, 3	sylibr 223	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ∈ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  {csn 4125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128

This theorem is referenced by:  unipw  4845  canth2  7998  unifpw  8152  marypha1lem  8222  infpwfidom  8734  ackbij1lem4  8928  acsfn  16143  sylow2a  17857  dissnref  21141  dissnlocfin  21142  locfindis  21143  txdis  21245  txdis1cn  21248  symgtgp  21715  dispcmp  29254  esumcst  29452  cntnevol  29618  coinflippvt  29873  onsucsuccmpi  31612  topdifinffinlem  32371  pclfinN  34204  lpirlnr  36706  unipwrVD  38089  unipwr  38090  salexct  39228  salexct3  39236  salgencntex  39237  salgensscntex  39238  sge0tsms  39273  sge0cl  39274  sge0sup  39284  lincvalsng  41999  snlindsntor  42054