MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smoiso2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smoiso2 7353
Description: The strictly monotone ordinal functions are also epsilon isomorphisms of subclasses of On. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
smoiso2 ((Ord 𝐴𝐵 ⊆ On) → ((𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Smo 𝐹) ↔ 𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))

Proof of Theorem smoiso2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fof 6028 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴onto𝐵𝐹:𝐴𝐵)
2 smo11 7348 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)
31, 2sylan 487 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)
4 simpl 472 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴onto𝐵)
5 df-f1o 5811 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ↔ (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴onto𝐵))
63, 4, 5sylanbrc 695 . . . . 5 ((𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
76adantl 481 . . . 4 (((Ord 𝐴𝐵 ⊆ On) ∧ (𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Smo 𝐹)) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
8 fofn 6030 . . . . . 6 (𝐹:𝐴onto𝐵𝐹 Fn 𝐴)
9 smoord 7349 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥𝑦 ↔ (𝐹𝑥) ∈ (𝐹𝑦)))
10 epel 4952 . . . . . . . 8 (𝑥 E 𝑦𝑥𝑦)
11 fvex 6113 . . . . . . . . 9 (𝐹𝑦) ∈ V
1211epelc 4951 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑥) E (𝐹𝑦) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (𝐹𝑦))
139, 10, 123bitr4g 302 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥 E 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) E (𝐹𝑦)))
1413ralrimivva 2954 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥 E 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) E (𝐹𝑦)))
158, 14sylan 487 . . . . 5 ((𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Smo 𝐹) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥 E 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) E (𝐹𝑦)))
1615adantl 481 . . . 4 (((Ord 𝐴𝐵 ⊆ On) ∧ (𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Smo 𝐹)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥 E 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) E (𝐹𝑦)))
17 df-isom 5813 . . . 4 (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ↔ (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥 E 𝑦 ↔ (𝐹𝑥) E (𝐹𝑦))))
187, 16, 17sylanbrc 695 . . 3 (((Ord 𝐴𝐵 ⊆ On) ∧ (𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Smo 𝐹)) → 𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵))
1918ex 449 . 2 ((Ord 𝐴𝐵 ⊆ On) → ((𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))
20 isof1o 6473 . . . . . . 7 (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
21 f1ofo 6057 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴onto𝐵)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐹:𝐴onto𝐵)
23223ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴𝐵 ⊆ On) → 𝐹:𝐴onto𝐵)
24 smoiso 7346 . . . . 5 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴𝐵 ⊆ On) → Smo 𝐹)
2523, 24jca 553 . . . 4 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴𝐵 ⊆ On) → (𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Smo 𝐹))
26253expib 1260 . . 3 (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → ((Ord 𝐴𝐵 ⊆ On) → (𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Smo 𝐹)))
2726com12 32 . 2 ((Ord 𝐴𝐵 ⊆ On) → (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → (𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Smo 𝐹)))
2819, 27impbid 201 1 ((Ord 𝐴𝐵 ⊆ On) → ((𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Smo 𝐹) ↔ 𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031  wcel 1977  wral 2896  wss 3540   class class class wbr 4583   E cep 4947  Ord word 5639  Oncon0 5640   Fn wfn 5799  wf 5800  1-1wf1 5801  ontowfo 5802  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804   Isom wiso 5805  Smo wsmo 7329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-ord 5643  df-on 5644  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-smo 7330
This theorem is referenced by:  oismo  8328  cofsmo  8974
  Copyright terms: Public domain W3C validator