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Theorem smo11 7348
Description: A strictly monotone ordinal function is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
smo11 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)

Proof of Theorem smo11
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . 2 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴𝐵)
2 ffn 5958 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
3 smodm2 7339 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → Ord 𝐴)
4 ordelord 5662 . . . . . . . 8 ((Ord 𝐴𝑧𝐴) → Ord 𝑧)
54ex 449 . . . . . . 7 (Ord 𝐴 → (𝑧𝐴 → Ord 𝑧))
63, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → (𝑧𝐴 → Ord 𝑧))
7 ordelord 5662 . . . . . . . 8 ((Ord 𝐴𝑤𝐴) → Ord 𝑤)
87ex 449 . . . . . . 7 (Ord 𝐴 → (𝑤𝐴 → Ord 𝑤))
93, 8syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → (𝑤𝐴 → Ord 𝑤))
106, 9anim12d 584 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → ((𝑧𝐴𝑤𝐴) → (Ord 𝑧 ∧ Ord 𝑤)))
11 ordtri3or 5672 . . . . . . 7 ((Ord 𝑧 ∧ Ord 𝑤) → (𝑧𝑤𝑧 = 𝑤𝑤𝑧))
12 simp1rr 1120 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → 𝑤𝐴)
13 smoel2 7347 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝑥)) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥))
1413ralrimivva 2954 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥))
1514adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥))
16153ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥))
17 simp2 1055 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → 𝑧𝑤)
18 simp3 1056 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤))
19 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑤))
2019eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑤)))
2120raleqbi1dv 3123 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑦𝑤 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑤)))
2221rspcv 3278 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) → ∀𝑦𝑤 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑤)))
23 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑧))
2423eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤)))
2524rspccv 3279 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑦𝑤 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑤) → (𝑧𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤)))
2622, 25syl6 34 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) → (𝑧𝑤 → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤))))
27263imp 1249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑧𝑤) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤))
28 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → ((𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤)))
2928biimpac 502 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑤) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
3027, 29sylan 487 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑧𝑤) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
3112, 16, 17, 18, 30syl31anc 1321 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
32 smofvon2 7340 . . . . . . . . . . . . 13 (Smo 𝐹 → (𝐹𝑤) ∈ On)
33 eloni 5650 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑤) ∈ On → Ord (𝐹𝑤))
34 ordirr 5658 . . . . . . . . . . . . 13 (Ord (𝐹𝑤) → ¬ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (Smo 𝐹 → ¬ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
3635ad2antlr 759 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) → ¬ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
37363ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → ¬ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
3831, 37pm2.21dd 185 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑧𝑤 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → 𝑧 = 𝑤)
39383exp 1256 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) → (𝑧𝑤 → ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
40 ax-1 6 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤))
4140a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) → (𝑧 = 𝑤 → ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
42 simp1rl 1119 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑤𝑧 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → 𝑧𝐴)
43153ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑤𝑧 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥))
44 simp2 1055 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑤𝑧 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → 𝑤𝑧)
45 simp3 1056 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑤𝑧 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤))
46 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
4746eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑧)))
4847raleqbi1dv 3123 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑧)))
4948rspcv 3278 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) → ∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑧)))
50 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑤 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑤))
5150eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑤 → ((𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑧) ↔ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑧)))
5251rspccv 3279 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑧) → (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑧)))
5349, 52syl6 34 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐴 → (∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) → (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑧))))
54533imp 1249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑤𝑧) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑧))
55 eleq2 2677 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → ((𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑧) ↔ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤)))
5655biimpac 502 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑧) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
5754, 56sylan 487 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑤𝑧) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
5842, 43, 44, 45, 57syl31anc 1321 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑤𝑧 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
59363ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑤𝑧 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → ¬ (𝐹𝑤) ∈ (𝐹𝑤))
6058, 59pm2.21dd 185 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) ∧ 𝑤𝑧 ∧ (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤)) → 𝑧 = 𝑤)
61603exp 1256 . . . . . . . 8 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) → (𝑤𝑧 → ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
6239, 41, 613jaod 1384 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) → ((𝑧𝑤𝑧 = 𝑤𝑤𝑧) → ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
6311, 62syl5 33 . . . . . 6 (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) ∧ (𝑧𝐴𝑤𝐴)) → ((Ord 𝑧 ∧ Ord 𝑤) → ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
6463ex 449 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → ((𝑧𝐴𝑤𝐴) → ((Ord 𝑧 ∧ Ord 𝑤) → ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤))))
6510, 64mpdd 42 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → ((𝑧𝐴𝑤𝐴) → ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
6665ralrimivv 2953 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ Smo 𝐹) → ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤))
672, 66sylan 487 . 2 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹) → ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤))
68 dff13 6416 . 2 (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 ((𝐹𝑧) = (𝐹𝑤) → 𝑧 = 𝑤)))
691, 67, 68sylanbrc 695 1 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ Smo 𝐹) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3o 1030  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  Ord word 5639  Oncon0 5640   Fn wfn 5799  wf 5800  1-1wf1 5801  cfv 5804  Smo wsmo 7329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-ord 5643  df-on 5644  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fv 5812  df-smo 7330
This theorem is referenced by:  smoiso2  7353  alephf1ALT  8809
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