Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfres 39675
 Description: The restriction of sigma-measurable function is sigma-measurable. Proposition 121E (h) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfres.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfres.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfres.a (𝜑𝐴𝑉)
Assertion
Ref Expression
smfres (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem smfres
Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1830 . 2 𝑎𝜑
2 smfres.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
3 inss1 3795 . . . 4 (dom 𝐹𝐴) ⊆ dom 𝐹
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → (dom 𝐹𝐴) ⊆ dom 𝐹)
5 smfres.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
6 eqid 2610 . . . 4 dom 𝐹 = dom 𝐹
72, 5, 6smfdmss 39619 . . 3 (𝜑 → dom 𝐹 𝑆)
84, 7sstrd 3578 . 2 (𝜑 → (dom 𝐹𝐴) ⊆ 𝑆)
92, 5, 6smff 39618 . . 3 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
10 fresin 5986 . . 3 (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ → (𝐹𝐴):(dom 𝐹𝐴)⟶ℝ)
119, 10syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴):(dom 𝐹𝐴)⟶ℝ)
12 ovex 6577 . . . . 5 (𝑆t dom 𝐹) ∈ V
1312a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑆t dom 𝐹) ∈ V)
14 smfres.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
1514adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴𝑉)
162adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
175adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
18 mnfxr 9975 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
1918a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
20 rexr 9964 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
2120adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
2216, 17, 6, 19, 21smfpimioo 39672 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝑆t dom 𝐹))
23 eqid 2610 . . . 4 ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) = ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴)
2413, 15, 22, 23elrestd 38322 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) ∈ ((𝑆t dom 𝐹) ↾t 𝐴))
259ffund 5962 . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐹)
26 respreima 6252 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → ((𝐹𝐴) “ (-∞(,)𝑎)) = ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴))
2725, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐴) “ (-∞(,)𝑎)) = ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴))
2827eqcomd 2616 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) = ((𝐹𝐴) “ (-∞(,)𝑎)))
2928adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) = ((𝐹𝐴) “ (-∞(,)𝑎)))
3011adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹𝐴):(dom 𝐹𝐴)⟶ℝ)
3130, 21preimaioomnf 39606 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹𝐴) “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ (dom 𝐹𝐴) ∣ ((𝐹𝐴)‘𝑥) < 𝑎})
3229, 31eqtr2d 2645 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (dom 𝐹𝐴) ∣ ((𝐹𝐴)‘𝑥) < 𝑎} = ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴))
335dmexd 38417 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
34 restco 20778 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ dom 𝐹 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ((𝑆t dom 𝐹) ↾t 𝐴) = (𝑆t (dom 𝐹𝐴)))
352, 33, 14, 34syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆t dom 𝐹) ↾t 𝐴) = (𝑆t (dom 𝐹𝐴)))
3635adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ((𝑆t dom 𝐹) ↾t 𝐴) = (𝑆t (dom 𝐹𝐴)))
3736eqcomd 2616 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑆t (dom 𝐹𝐴)) = ((𝑆t dom 𝐹) ↾t 𝐴))
3832, 37eleq12d 2682 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ (dom 𝐹𝐴) ∣ ((𝐹𝐴)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t (dom 𝐹𝐴)) ↔ ((𝐹 “ (-∞(,)𝑎)) ∩ 𝐴) ∈ ((𝑆t dom 𝐹) ↾t 𝐴)))
3924, 38mpbird 246 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (dom 𝐹𝐴) ∣ ((𝐹𝐴)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t (dom 𝐹𝐴)))
401, 2, 8, 11, 39issmfd 39621 1 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ (SMblFn‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038   ↾ cres 5040   “ cima 5041  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  -∞cmnf 9951  ℝ*cxr 9952   < clt 9953  (,)cioo 12046   ↾t crest 15904  SAlgcsalg 39204  SMblFncsmblfn 39586 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-fl 12455  df-rest 15906  df-salg 39205  df-smblfn 39587 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator