Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimltxrmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimltxrmpt 39645
 Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded below is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimltxrmpt.x 𝑥𝜑
smfpimltxrmpt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimltxrmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
smfpimltxrmpt.f (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimltxrmpt.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimltxrmpt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∈ (𝑆t 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfpimltxrmpt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 4675 . . . . . 6 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
21nfdm 5288 . . . . 5 𝑥dom (𝑥𝐴𝐵)
3 nfcv 2751 . . . . 5 𝑦dom (𝑥𝐴𝐵)
4 nfv 1830 . . . . 5 𝑦((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅
5 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑥𝑦
61, 5nffv 6110 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)
7 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑥 <
8 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑥𝑅
96, 7, 8nfbr 4629 . . . . 5 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) < 𝑅
10 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦))
1110breq1d 4593 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅 ↔ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) < 𝑅))
122, 3, 4, 9, 11cbvrab 3171 . . . 4 {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑦 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) < 𝑅}
1312a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑦 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) < 𝑅})
14 nfcv 2751 . . . 4 𝑦(𝑥𝐴𝐵)
15 smfpimltxrmpt.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
16 smfpimltxrmpt.f . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
17 eqid 2610 . . . 4 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
18 smfpimltxrmpt.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
1914, 15, 16, 17, 18smfpimltxr 39634 . . 3 (𝜑 → {𝑦 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) < 𝑅} ∈ (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵)))
2013, 19eqeltrd 2688 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} ∈ (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵)))
21 smfpimltxrmpt.x . . . . . 6 𝑥𝜑
22 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
23 smfpimltxrmpt.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
2421, 22, 23dmmptdf 38412 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
25 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑥𝐴
262, 25rabeqf 3165 . . . . 5 (dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑥𝐴 ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅})
2724, 26syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑥𝐴 ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅})
2822a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
2928, 23fvmpt2d 6202 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
3029breq1d 4593 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅𝐵 < 𝑅))
3121, 30rabbida 38302 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅})
32 eqidd 2611 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} = {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅})
3327, 31, 323eqtrrd 2649 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} = {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅})
3424eqcomd 2616 . . . 4 (𝜑𝐴 = dom (𝑥𝐴𝐵))
3534oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → (𝑆t 𝐴) = (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵)))
3633, 35eleq12d 2682 . 2 (𝜑 → ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∈ (𝑆t 𝐴) ↔ {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) < 𝑅} ∈ (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵))))
3720, 36mpbird 246 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∈ (𝑆t 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  {crab 2900   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ↾t crest 15904  SAlgcsalg 39204  SMblFncsmblfn 39586 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-rest 15906  df-salg 39205  df-smblfn 39587 This theorem is referenced by:  smfpimioompt  39671
 Copyright terms: Public domain W3C validator