Theorem smfpimgtxr 39666

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimgtxr.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpimgtxr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimgtxr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimgtxr.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimgtxr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
smfpimgtxr	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimgtxr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4586	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 < (𝐹‘𝑥) ↔ -∞ < (𝐹‘𝑥)))
2	1	rabbidv 3164	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)})
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)})
4		smfpimgtxr.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
5		smfpimgtxr.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
6	5	nfdm 5288	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
7	4, 6	nfcxfr 2749	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
8		nfcv 2751	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
9		nfv 1830	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦-∞ < (𝐹‘𝑥)
10		nfcv 2751	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥-∞
11		nfcv 2751	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 <
12		nfcv 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
13	5, 12	nffv 6110	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
14	10, 11, 13	nfbr 4629	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥-∞ < (𝐹‘𝑦)
15		fveq2 6103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
16	15	breq2d 4595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (-∞ < (𝐹‘𝑥) ↔ -∞ < (𝐹‘𝑦)))
17	7, 8, 9, 14, 16	cbvrab 3171	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑦)}
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑦)})
19		nfv 1830	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
20		smfpimgtxr.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
21		smfpimgtxr.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
22	20, 21, 4	smff 39618	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
23	22	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
24		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
25	23, 24	ffvelrnd 6268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
26	19, 25	pimgtmnf 39609	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑦)} = 𝐷)
27		eqidd 2611	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐷)
28	18, 26, 27	3eqtrd 2648	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)} = 𝐷)
29	28	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ -∞ < (𝐹‘𝑥)} = 𝐷)
30	3, 29	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = 𝐷)
31	20, 21, 4	smfdmss 39619	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
32	20, 31	restuni4 38336	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) = 𝐷)
33	32	eqcomd 2616	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ∪ (𝑆 ↾t 𝐷))
34	21	dmexd 38417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
35	4, 34	syl5eqel 2692	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
36		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐷) = (𝑆 ↾t 𝐷)
37	20, 35, 36	subsalsal 39253	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
38	37	salunid 39247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
39	33, 38	eqeltrd 2688	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
40	39	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
41	30, 40	eqeltrd 2688	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
42		neqne 2790	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ -∞)
43	42	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
44		breq1 4586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 < (𝐹‘𝑥) ↔ +∞ < (𝐹‘𝑥)))
45	44	rabbidv 3164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = +∞ → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ +∞ < (𝐹‘𝑥)})
46	45	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ +∞ < (𝐹‘𝑥)})
47	5, 22	pimgtpnf2 39594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ +∞ < (𝐹‘𝑥)} = ∅)
48	47	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ +∞ < (𝐹‘𝑥)} = ∅)
49	46, 48	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = ∅)
50	37	0sald 39244	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
51	50	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
52	49, 51	eqeltrd 2688	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
53	52	adantlr 747	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
54		simpll 786	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝜑)
55		smfpimgtxr.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
56	54, 55	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
57		simplr 788	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
58		neqne 2790	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ +∞)
59	58	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
60	56, 57, 59	xrred 38522	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
61	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
62	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
63		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
64	5, 61, 62, 4, 63	smfpreimagtf 39654	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
65	54, 60, 64	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
66	53, 65	pm2.61dan 828	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
67	43, 66	syldan 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
68	41, 67	pm2.61dan 828	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Ⅎwnfc 2738   ≠ wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173  ∅c0 3874  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ↾_t crest 15904  SAlgcsalg 39204  SMblFncsmblfn 39586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-fl 12455  df-rest 15906  df-salg 39205  df-smblfn 39587

This theorem is referenced by:  smfpimgtxrmpt  39670