Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smatbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smatbl 29194
 Description: Entries of a submatrix, bottom left. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
smat.s 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
smat.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
smat.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
smat.k (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑀))
smat.l (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
smat.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝑚 ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
smatbl.i (𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐾))
smatbl.j (𝜑𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))
Assertion
Ref Expression
smatbl (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = (𝐼𝐴(𝐽 + 1)))

Proof of Theorem smatbl
StepHypRef Expression
1 smat.s . 2 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
2 smat.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 smat.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 smat.k . 2 (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑀))
5 smat.l . 2 (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
6 smat.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝑚 ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
7 fzossnn 12384 . . 3 (1..^𝐾) ⊆ ℕ
8 smatbl.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐾))
97, 8sseldi 3566 . 2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
10 fz1ssnn 12243 . . . . 5 (1...𝑁) ⊆ ℕ
1110, 5sseldi 3566 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℕ)
12 fzssnn 12256 . . . 4 (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
14 smatbl.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))
1513, 14sseldd 3569 . 2 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
16 elfzolt2 12348 . . . 4 (𝐼 ∈ (1..^𝐾) → 𝐼 < 𝐾)
178, 16syl 17 . . 3 (𝜑𝐼 < 𝐾)
1817iftrued 4044 . 2 (𝜑 → if(𝐼 < 𝐾, 𝐼, (𝐼 + 1)) = 𝐼)
19 elfzle1 12215 . . . . 5 (𝐽 ∈ (𝐿...𝑁) → 𝐿𝐽)
2014, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝐿𝐽)
2111nnred 10912 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
2215nnred 10912 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
2321, 22lenltd 10062 . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐽 ↔ ¬ 𝐽 < 𝐿))
2420, 23mpbid 221 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐽 < 𝐿)
2524iffalsed 4047 . 2 (𝜑 → if(𝐽 < 𝐿, 𝐽, (𝐽 + 1)) = (𝐽 + 1))
261, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 15, 18, 25smatlem 29191 1 (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = (𝐼𝐴(𝐽 + 1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   × cxp 5036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  subMat1csmat 29187 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-smat 29188 This theorem is referenced by:  submateq  29203
 Copyright terms: Public domain W3C validator