Theorem signstfval 29967

Description: Value of the zero-skipping sign word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signstfval	⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖)))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑖,𝑁,𝑛   𝑓,𝑊,𝑛

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑓,𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑖,𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsv.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
2		signsv.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
3		signsv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
4		signsv.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
5	1, 2, 3, 4	signstfv 29966	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇‘𝐹) = (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))))
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑇‘𝐹) = (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))))
7		simpr 476	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑛 = 𝑁) → 𝑛 = 𝑁)
8	7	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (0...𝑛) = (0...𝑁))
9	8	mpteq1d 4666	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))) = (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖))))
10	9	oveq2d 6565	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖)))))
11		simpr 476	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
12		ovex 6577	. . 3 ⊢ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖)))) ∈ V
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖)))) ∈ V)
14	6, 10, 11, 13	fvmptd 6197	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ((𝑇‘𝐹)‘𝑁) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (sgn‘(𝐹‘𝑖)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  ifcif 4036  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   − cmin 10145  -cneg 10146  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  sgncsgn 13674  Σcsu 14264  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768   Σ_g cgsu 15924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552

This theorem is referenced by:  signstcl  29968  signstfvn  29972  signstfvp  29974