Theorem signstf0 29971

Description: Sign of a single letter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))

Assertion

Ref	Expression
signstf0	⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝑊   𝑓,𝐾,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstf0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1len 13238	. . . . . 6 ⊢ (#‘⟨“𝐾”⟩) = 1
2	1	oveq2i 6560	. . . . 5 ⊢ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)) = (0..^1)
3		fzo01 12417	. . . . 5 ⊢ (0..^1) = {0}
4	2, 3	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)) = {0}
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)) = {0})
6		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩))) → 𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)))
7	6, 4	syl6eleq 2698	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩))) → 𝑛 ∈ {0})
8		velsn 4141	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ {0} ↔ 𝑛 = 0)
9	7, 8	sylib 207	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩))) → 𝑛 = 0)
10		oveq2 6557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 0 → (0...𝑛) = (0...0))
11		0z 11265	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
12		fzsn 12254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (0...0) = {0}
14	10, 13	syl6eq 2660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (0...𝑛) = {0})
15	14	mpteq1d 4666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))) = (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))
16	15	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))))
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))))
18		signsv.p	. . . . . . . . 9 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
19		signsv.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
20	18, 19	signswmnd 29960	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 ∈ Mnd
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → 𝑊 ∈ Mnd)
22		0re 9919	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
24		s1fv 13243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (⟨“𝐾”⟩‘0) = 𝐾)
25		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → 𝐾 ∈ ℝ)
26	24, 25	eqeltrd 2688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (⟨“𝐾”⟩‘0) ∈ ℝ)
27	26	rexrd 9968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (⟨“𝐾”⟩‘0) ∈ ℝ*)
28		sgncl 29927	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨“𝐾”⟩‘0) ∈ ℝ* → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) ∈ {-1, 0, 1})
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) ∈ {-1, 0, 1})
30	18, 19	signswbase 29957	. . . . . . . 8 ⊢ {-1, 0, 1} = (Base‘𝑊)
31		fveq2 6103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 0 → (⟨“𝐾”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐾”⟩‘0))
32	31	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 0 → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
33	30, 32	gsumsn 18177	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) ∈ {-1, 0, 1}) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
34	21, 23, 29, 33	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
35	34	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
36	24	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) = (sgn‘𝐾))
37	36	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) = (sgn‘𝐾))
38	17, 35, 37	3eqtrd 2648	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘𝐾))
39	9, 38	syldan 486	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩))) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘𝐾))
40	5, 39	mpteq12dva 4662	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))) = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
41		s1cl 13235	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ)
42		signsv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
43		signsv.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
44	18, 19, 42, 43	signstfv 29966	. . 3 ⊢ (⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = (𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))))
45	41, 44	syl 17	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = (𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))))
46		sgnclre 29928	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (sgn‘𝐾) ∈ ℝ)
47		s1val 13231	. . . 4 ⊢ ((sgn‘𝐾) ∈ ℝ → ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩ = {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩})
48	46, 47	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩ = {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩})
49		fmptsn 6338	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (sgn‘𝐾) ∈ ℝ) → {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩} = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
50	22, 46, 49	sylancr 694	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩} = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
51	48, 50	eqtrd 2644	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩ = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
52	40, 45, 51	3eqtr4d 2654	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ifcif 4036  {csn 4125  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  ℝ^*cxr 9952   − cmin 10145  -cneg 10146  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  ⟨“cs1 13149  sgncsgn 13674  Σcsu 14264  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768   Σ_g cgsu 15924  Mndcmnd 17117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-word 13154  df-s1 13157  df-sgn 13675  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mulg 17364  df-cntz 17573

This theorem is referenced by:  signsvtn0  29973  signstfvneq0  29975