Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstf0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signstf0 29971
 Description: Sign of a single letter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signstf0 (𝐾 ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝑊   𝑓,𝐾,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstf0
StepHypRef Expression
1 s1len 13238 . . . . . 6 (#‘⟨“𝐾”⟩) = 1
21oveq2i 6560 . . . . 5 (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)) = (0..^1)
3 fzo01 12417 . . . . 5 (0..^1) = {0}
42, 3eqtri 2632 . . . 4 (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)) = {0}
54a1i 11 . . 3 (𝐾 ∈ ℝ → (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)) = {0})
6 simpr 476 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩))) → 𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)))
76, 4syl6eleq 2698 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩))) → 𝑛 ∈ {0})
8 velsn 4141 . . . . 5 (𝑛 ∈ {0} ↔ 𝑛 = 0)
97, 8sylib 207 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩))) → 𝑛 = 0)
10 oveq2 6557 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 0 → (0...𝑛) = (0...0))
11 0z 11265 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
12 fzsn 12254 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0...0) = {0}
1410, 13syl6eq 2660 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → (0...𝑛) = {0})
1514mpteq1d 4666 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))) = (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))
1615oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))))
1716adantl 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))))
18 signsv.p . . . . . . . . 9 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
19 signsv.w . . . . . . . . 9 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
2018, 19signswmnd 29960 . . . . . . . 8 𝑊 ∈ Mnd
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℝ → 𝑊 ∈ Mnd)
22 0re 9919 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
2322a1i 11 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
24 s1fv 13243 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℝ → (⟨“𝐾”⟩‘0) = 𝐾)
25 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℝ → 𝐾 ∈ ℝ)
2624, 25eqeltrd 2688 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℝ → (⟨“𝐾”⟩‘0) ∈ ℝ)
2726rexrd 9968 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℝ → (⟨“𝐾”⟩‘0) ∈ ℝ*)
28 sgncl 29927 . . . . . . . 8 ((⟨“𝐾”⟩‘0) ∈ ℝ* → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) ∈ {-1, 0, 1})
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℝ → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) ∈ {-1, 0, 1})
3018, 19signswbase 29957 . . . . . . . 8 {-1, 0, 1} = (Base‘𝑊)
31 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (⟨“𝐾”⟩‘𝑖) = (⟨“𝐾”⟩‘0))
3231fveq2d 6107 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
3330, 32gsumsn 18177 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) ∈ {-1, 0, 1}) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
3421, 23, 29, 33syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℝ → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
3534adantr 480 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)))
3624fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℝ → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) = (sgn‘𝐾))
3736adantr 480 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘0)) = (sgn‘𝐾))
3817, 35, 373eqtrd 2648 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 = 0) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘𝐾))
399, 38syldan 486 . . 3 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩))) → (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖)))) = (sgn‘𝐾))
405, 39mpteq12dva 4662 . 2 (𝐾 ∈ ℝ → (𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))) = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
41 s1cl 13235 . . 3 (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ)
42 signsv.t . . . 4 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
43 signsv.v . . . 4 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
4418, 19, 42, 43signstfv 29966 . . 3 (⟨“𝐾”⟩ ∈ Word ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = (𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))))
4541, 44syl 17 . 2 (𝐾 ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = (𝑛 ∈ (0..^(#‘⟨“𝐾”⟩)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(⟨“𝐾”⟩‘𝑖))))))
46 sgnclre 29928 . . . 4 (𝐾 ∈ ℝ → (sgn‘𝐾) ∈ ℝ)
47 s1val 13231 . . . 4 ((sgn‘𝐾) ∈ ℝ → ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩ = {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩})
4846, 47syl 17 . . 3 (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩ = {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩})
49 fmptsn 6338 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (sgn‘𝐾) ∈ ℝ) → {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩} = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
5022, 46, 49sylancr 694 . . 3 (𝐾 ∈ ℝ → {⟨0, (sgn‘𝐾)⟩} = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
5148, 50eqtrd 2644 . 2 (𝐾 ∈ ℝ → ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩ = (𝑛 ∈ {0} ↦ (sgn‘𝐾)))
5240, 45, 513eqtr4d 2654 1 (𝐾 ∈ ℝ → (𝑇‘⟨“𝐾”⟩) = ⟨“(sgn‘𝐾)”⟩)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ifcif 4036  {csn 4125  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  ℝ*cxr 9952   − cmin 10145  -cneg 10146  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  ⟨“cs1 13149  sgncsgn 13674  Σcsu 14264  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  +gcplusg 15768   Σg cgsu 15924  Mndcmnd 17117 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-word 13154  df-s1 13157  df-sgn 13675  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mulg 17364  df-cntz 17573 This theorem is referenced by:  signsvtn0  29973  signstfvneq0  29975
 Copyright terms: Public domain W3C validator