Theorem sigarms 39694

Description: Signed area is additive (with respect to subtraction) by the second argument. (Contributed by Saveliy Skresanov, 19-Sep-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
sigarms	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴𝐺𝐵) − (𝐴𝐺𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigarms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1054	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp2 1055	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3		simp3 1056	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
4	2, 3	subcld 10271	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
5		sigar	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
6	5	sigarac 39690	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐴𝐺(𝐵 − 𝐶)) = -((𝐵 − 𝐶)𝐺𝐴))
7	1, 4, 6	syl2anc 691	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺(𝐵 − 𝐶)) = -((𝐵 − 𝐶)𝐺𝐴))
8	5	sigarmf 39692	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐶)𝐺𝐴) = ((𝐵𝐺𝐴) − (𝐶𝐺𝐴)))
9	8	negeqd 10154	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → -((𝐵 − 𝐶)𝐺𝐴) = -((𝐵𝐺𝐴) − (𝐶𝐺𝐴)))
10	9	3com12 1261	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → -((𝐵 − 𝐶)𝐺𝐴) = -((𝐵𝐺𝐴) − (𝐶𝐺𝐴)))
11		3simpa 1051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
12	11	ancomd 466	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
13	5	sigarim 39689	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐴) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐴) ∈ ℝ)
15	14	recnd 9947	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ)
16		3simpb 1052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
17	16	ancomd 466	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
18	5	sigarim 39689	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℝ)
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℝ)
20	19	recnd 9947	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℂ)
21		negsubdi 10216	. . . . 5 ⊢ (((𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℂ) → -((𝐵𝐺𝐴) − (𝐶𝐺𝐴)) = (-(𝐵𝐺𝐴) + (𝐶𝐺𝐴)))
22		simpl 472	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ)
23	22	negcld 10258	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℂ) → -(𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ)
24		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℂ) → (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℂ)
25	23, 24	subnegd 10278	. . . . 5 ⊢ (((𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℂ) → (-(𝐵𝐺𝐴) − -(𝐶𝐺𝐴)) = (-(𝐵𝐺𝐴) + (𝐶𝐺𝐴)))
26	21, 25	eqtr4d 2647	. . . 4 ⊢ (((𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℂ) → -((𝐵𝐺𝐴) − (𝐶𝐺𝐴)) = (-(𝐵𝐺𝐴) − -(𝐶𝐺𝐴)))
27	15, 20, 26	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → -((𝐵𝐺𝐴) − (𝐶𝐺𝐴)) = (-(𝐵𝐺𝐴) − -(𝐶𝐺𝐴)))
28	10, 27	eqtrd 2644	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → -((𝐵 − 𝐶)𝐺𝐴) = (-(𝐵𝐺𝐴) − -(𝐶𝐺𝐴)))
29	5	sigarac 39690	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
30	1, 2, 29	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
31	30	eqcomd 2616	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → -(𝐵𝐺𝐴) = (𝐴𝐺𝐵))
32	5	sigarac 39690	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐶) = -(𝐶𝐺𝐴))
33	1, 3, 32	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐶) = -(𝐶𝐺𝐴))
34	33	eqcomd 2616	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → -(𝐶𝐺𝐴) = (𝐴𝐺𝐶))
35	31, 34	oveq12d 6567	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (-(𝐵𝐺𝐴) − -(𝐶𝐺𝐴)) = ((𝐴𝐺𝐵) − (𝐴𝐺𝐶)))
36	7, 28, 35	3eqtrd 2648	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐴𝐺𝐵) − (𝐴𝐺𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ℂcc 9813  ℝcr 9814   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  -cneg 10146  ∗ccj 13684  ℑcim 13686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689

This theorem is referenced by:  sigarexp  39697  sigaradd  39704