Theorem sigaclcu3 29512

Description: A sigma-algebra is closed under countable or finite union. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sigaclcu3.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
sigaclcu3.2	⊢ (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝑀)))
sigaclcu3.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sigaclcu3	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sigaclcu3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → 𝑁 = ℕ)
2	1	iuneq1d 4481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 = ∪ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
3		sigaclcu3.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
5		sigaclcu3.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑆)
6	5	ralrimiva 2949	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∀𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)
8	1	raleqdv 3121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → (∀𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆))
9	7, 8	mpbid 221	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆)
10		sigaclcu2 29510	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆)
11	4, 9, 10	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∪ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 ∈ 𝑆)
12	2, 11	eqeltrd 2688	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ℕ) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)
13		simpr 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑁 = (1..^𝑀))
14	13	iuneq1d 4481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 = ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴)
15	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
16	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∀𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)
17	13	raleqdv 3121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → (∀𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴 ∈ 𝑆))
18	16, 17	mpbid 221	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴 ∈ 𝑆)
19		sigaclfu2 29511	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴 ∈ 𝑆) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴 ∈ 𝑆)
20	15, 18, 19	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑀)𝐴 ∈ 𝑆)
21	14, 20	eqeltrd 2688	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (1..^𝑀)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)
22		sigaclcu3.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = ℕ ∨ 𝑁 = (1..^𝑀)))
23	12, 21, 22	mpjaodan 823	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑁 𝐴 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∪ cuni 4372  ∪ ciun 4455  ran crn 5039  (class class class)co 6549  1c1 9816  ℕcn 10897  ..^cfzo 12334  sigAlgebracsiga 29497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-card 8648  df-acn 8651  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-siga 29498

This theorem is referenced by: (None)