HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shsel 27557
Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces. (Contributed by NM, 14-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsel ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem shsel
StepHypRef Expression
1 shsval 27555 . . 3 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = ( + “ (𝐴 × 𝐵)))
21eleq2d 2673 . 2 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ ( + “ (𝐴 × 𝐵))))
3 ax-hfvadd 27241 . . . 4 + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ
4 ffn 5958 . . . 4 ( + :( ℋ × ℋ)⟶ ℋ → + Fn ( ℋ × ℋ))
53, 4ax-mp 5 . . 3 + Fn ( ℋ × ℋ)
6 shss 27451 . . . 4 (𝐴S𝐴 ⊆ ℋ)
7 shss 27451 . . . 4 (𝐵S𝐵 ⊆ ℋ)
8 xpss12 5148 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ ( ℋ × ℋ))
96, 7, 8syl2an 493 . . 3 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 × 𝐵) ⊆ ( ℋ × ℋ))
10 ovelimab 6710 . . 3 (( + Fn ( ℋ × ℋ) ∧ (𝐴 × 𝐵) ⊆ ( ℋ × ℋ)) → (𝐶 ∈ ( + “ (𝐴 × 𝐵)) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦)))
115, 9, 10sylancr 694 . 2 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ ( + “ (𝐴 × 𝐵)) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦)))
122, 11bitrd 267 1 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wrex 2897  wss 3540   × cxp 5036  cima 5041   Fn wfn 5799  wf 5800  (class class class)co 6549  chil 27160   + cva 27161   S csh 27169   + cph 27172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148  df-grpo 26731  df-ablo 26783  df-hvsub 27212  df-sh 27448  df-shs 27551
This theorem is referenced by:  shsel3  27558  shseli  27559  shscom  27562  shsva  27563  shless  27602  pjhth  27636  pjhtheu  27637  pjpreeq  27641  pjpjpre  27662  chscllem4  27883  sumdmdii  28658  sumdmdlem  28661
  Copyright terms: Public domain W3C validator