Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shlej1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shlej1 27603
 Description: Add disjunct to both sides of Hilbert subspace ordering. (Contributed by NM, 22-Jun-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shlej1 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 𝐶) ⊆ (𝐵 𝐶))

Proof of Theorem shlej1
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . 3 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
2 unss1 3744 . . . 4 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐶) ⊆ (𝐵𝐶))
3 simpl1 1057 . . . . . . 7 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴S )
4 shss 27451 . . . . . . 7 (𝐴S𝐴 ⊆ ℋ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ⊆ ℋ)
6 simpl3 1059 . . . . . . 7 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶S )
7 shss 27451 . . . . . . 7 (𝐶S𝐶 ⊆ ℋ)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ⊆ ℋ)
95, 8unssd 3751 . . . . 5 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐶) ⊆ ℋ)
10 simpl2 1058 . . . . . . 7 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵S )
11 shss 27451 . . . . . . 7 (𝐵S𝐵 ⊆ ℋ)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ⊆ ℋ)
1312, 8unssd 3751 . . . . 5 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵𝐶) ⊆ ℋ)
14 occon2 27531 . . . . 5 (((𝐴𝐶) ⊆ ℋ ∧ (𝐵𝐶) ⊆ ℋ) → ((𝐴𝐶) ⊆ (𝐵𝐶) → (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐶))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐵𝐶)))))
159, 13, 14syl2anc 691 . . . 4 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴𝐶) ⊆ (𝐵𝐶) → (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐶))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐵𝐶)))))
162, 15syl5 33 . . 3 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐵 → (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐶))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐵𝐶)))))
171, 16mpd 15 . 2 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐶))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐵𝐶))))
18 shjval 27594 . . 3 ((𝐴S𝐶S ) → (𝐴 𝐶) = (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐶))))
193, 6, 18syl2anc 691 . 2 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 𝐶) = (⊥‘(⊥‘(𝐴𝐶))))
20 shjval 27594 . . 3 ((𝐵S𝐶S ) → (𝐵 𝐶) = (⊥‘(⊥‘(𝐵𝐶))))
2110, 6, 20syl2anc 691 . 2 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 𝐶) = (⊥‘(⊥‘(𝐵𝐶))))
2217, 19, 213sstr4d 3611 1 (((𝐴S𝐵S𝐶S ) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 𝐶) ⊆ (𝐵 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ℋchil 27160   Sℋ csh 27169  ⊥cort 27171   ∨ℋ chj 27174 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hv0cl 27244  ax-hfvmul 27246  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his2 27324  ax-his3 27325 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sh 27448  df-oc 27493  df-chj 27553 This theorem is referenced by:  shlej2  27604  shlej1i  27621  chlej1  27753
 Copyright terms: Public domain W3C validator