Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shftfib Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shftfib 13660
 Description: Value of a fiber of the relation 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
shftfib ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = (𝐹 “ {(𝐵𝐴)}))

Proof of Theorem shftfib
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shftfval.1 . . . . . . 7 𝐹 ∈ V
21shftfval 13658 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)})
32breqd 4594 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧𝐵{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)}𝑧))
4 vex 3176 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
5 eleq1 2676 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
6 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐴) = (𝐵𝐴))
76breq1d 4593 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝐵𝐴)𝐹𝑦))
85, 7anbi12d 743 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴)𝐹𝑦)))
9 breq2 4587 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐵𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝐵𝐴)𝐹𝑧))
109anbi2d 736 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴)𝐹𝑧)))
11 eqid 2610 . . . . . . 7 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)}
128, 10, 11brabg 4919 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ V) → (𝐵{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)}𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴)𝐹𝑧)))
134, 12mpan2 703 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)}𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴)𝐹𝑧)))
143, 13sylan9bb 732 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴)𝐹𝑧)))
15 ibar 524 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵𝐴)𝐹𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴)𝐹𝑧)))
1615adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐴)𝐹𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴)𝐹𝑧)))
1714, 16bitr4d 270 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧 ↔ (𝐵𝐴)𝐹𝑧))
1817abbidv 2728 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {𝑧𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧} = {𝑧 ∣ (𝐵𝐴)𝐹𝑧})
19 imasng 5406 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = {𝑧𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧})
2019adantl 481 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = {𝑧𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧})
21 ovex 6577 . . 3 (𝐵𝐴) ∈ V
22 imasng 5406 . . 3 ((𝐵𝐴) ∈ V → (𝐹 “ {(𝐵𝐴)}) = {𝑧 ∣ (𝐵𝐴)𝐹𝑧})
2321, 22mp1i 13 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹 “ {(𝐵𝐴)}) = {𝑧 ∣ (𝐵𝐴)𝐹𝑧})
2418, 20, 233eqtr4d 2654 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = (𝐹 “ {(𝐵𝐴)}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596  Vcvv 3173  {csn 4125   class class class wbr 4583  {copab 4642   “ cima 5041  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   − cmin 10145   shift cshi 13654 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-shft 13655 This theorem is referenced by:  shftval  13662
 Copyright terms: Public domain W3C validator