MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shft2rab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shft2rab 23083
Description: If 𝐵 is a shift of 𝐴 by 𝐶, then 𝐴 is a shift of 𝐵 by -𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolshft.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ovolshft.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
ovolshft.3 (𝜑𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐶) ∈ 𝐴})
Assertion
Ref Expression
shft2rab (𝜑𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦   𝑦,𝐵   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem shft2rab
StepHypRef Expression
1 ovolshft.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
21sseld 3567 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ))
32pm4.71rd 665 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴)))
4 recn 9905 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
5 ovolshft.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
65recnd 9947 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
7 subneg 10209 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑦 − -𝐶) = (𝑦 + 𝐶))
84, 6, 7syl2anr 494 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 − -𝐶) = (𝑦 + 𝐶))
9 ovolshft.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐶) ∈ 𝐴})
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐶) ∈ 𝐴})
118, 10eleq12d 2682 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐶) ∈ 𝐴}))
12 id 22 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ)
13 readdcl 9898 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝐶) ∈ ℝ)
1412, 5, 13syl2anr 494 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝐶) ∈ ℝ)
15 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 𝐶) → (𝑥𝐶) = ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶))
1615eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 𝐶) → ((𝑥𝐶) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴))
1716elrab3 3332 . . . . . . 7 ((𝑦 + 𝐶) ∈ ℝ → ((𝑦 + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐶) ∈ 𝐴} ↔ ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴))
1814, 17syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 𝐶) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐶) ∈ 𝐴} ↔ ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴))
19 pncan 10166 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) = 𝑦)
204, 6, 19syl2anr 494 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) = 𝑦)
2120eleq1d 2672 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑦 + 𝐶) − 𝐶) ∈ 𝐴𝑦𝐴))
2211, 18, 213bitrd 293 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵𝑦𝐴))
2322pm5.32da 671 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝐴)))
243, 23bitr4d 270 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵)))
2524abbi2dv 2729 . 2 (𝜑𝐴 = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵)})
26 df-rab 2905 . 2 {𝑦 ∈ ℝ ∣ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵)}
2725, 26syl6eqr 2662 1 (𝜑𝐴 = {𝑦 ∈ ℝ ∣ (𝑦 − -𝐶) ∈ 𝐵})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  {cab 2596  {crab 2900  wss 3540  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814   + caddc 9818  cmin 10145  -cneg 10146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148
This theorem is referenced by:  ovolshft  23086  shftmbl  23113
  Copyright terms: Public domain W3C validator