Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgrp0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgrp0b 17115
 Description: The structure with an empty base set and any group operation is a semigroup. (Contributed by AV, 28-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
sgrp0b {⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩} ∈ SGrp

Proof of Theorem sgrp0b
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mgm0b 17079 . 2 {⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩} ∈ Mgm
2 ral0 4028 . 2 𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ ∅ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑥(+g‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩})𝑦)(+g‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩})𝑧) = (𝑥(+g‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩})(𝑦(+g‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩})𝑧))
3 0ex 4718 . . . 4 ∅ ∈ V
4 eqid 2610 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩} = {⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩}
54grpbase 15816 . . . 4 (∅ ∈ V → ∅ = (Base‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩}))
63, 5ax-mp 5 . . 3 ∅ = (Base‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩})
7 eqid 2610 . . 3 (+g‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩}) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩})
86, 7issgrp 17108 . 2 ({⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩} ∈ SGrp ↔ ({⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩} ∈ Mgm ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ ∅ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑥(+g‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩})𝑦)(+g‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩})𝑧) = (𝑥(+g‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩})(𝑦(+g‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩})𝑧))))
91, 2, 8mpbir2an 957 1 {⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩} ∈ SGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {cpr 4127  ⟨cop 4131  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Mgmcmgm 17063  SGrpcsgrp 17106 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mgm 17065  df-sgrp 17107 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator