Theorem sgnval 13676

Description: Value of Signum function. Pronounced "signum" . See df-sgn 13675. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgnval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))

Proof of Theorem sgnval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2614	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
2		breq1 4586	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 < 0 ↔ 𝐴 < 0))
3	2	ifbid 4058	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, -1, 1))
4	1, 3	ifbieq2d 4061	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
5		df-sgn 13675	. 2 ⊢ sgn = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)))
6		c0ex 9913	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
7		negex 10158	. . . 4 ⊢ -1 ∈ V
8		1ex 9914	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
9	7, 8	ifex 4106	. . 3 ⊢ if(𝐴 < 0, -1, 1) ∈ V
10	6, 9	ifex 4106	. 2 ⊢ if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) ∈ V
11	4, 5, 10	fvmpt 6191	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ifcif 4036   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953  -cneg 10146  sgncsgn 13674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-mulcl 9877  ax-i2m1 9883

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-neg 10148  df-sgn 13675

This theorem is referenced by:  sgn0  13677  sgnp  13678  sgnn  13682  sgnneg  29929  sgn3da  29930