MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgn0 13677
Description: Proof that signum of 0 is 0. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgn0 (sgn‘0) = 0

Proof of Theorem sgn0
StepHypRef Expression
1 0xr 9965 . . 3 0 ∈ ℝ*
2 sgnval 13676 . . 3 (0 ∈ ℝ* → (sgn‘0) = if(0 = 0, 0, if(0 < 0, -1, 1)))
31, 2ax-mp 5 . 2 (sgn‘0) = if(0 = 0, 0, if(0 < 0, -1, 1))
4 eqid 2610 . . 3 0 = 0
54iftruei 4043 . 2 if(0 = 0, 0, if(0 < 0, -1, 1)) = 0
63, 5eqtri 2632 1 (sgn‘0) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1475  wcel 1977  ifcif 4036   class class class wbr 4583  cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816  *cxr 9952   < clt 9953  -cneg 10146  sgncsgn 13674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-xr 9957  df-neg 10148  df-sgn 13675
This theorem is referenced by:  sgncl  29927  sgnmul  29931  sgnsgn  29937  signstfveq0  29980
  Copyright terms: Public domain W3C validator