Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgmnncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgmnncl 24673
 Description: Closure of the divisor function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgmnncl ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem sgmnncl
Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0z 11277 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
2 sgmval2 24669 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝐴))
31, 2sylan 487 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝐴))
4 fzfid 12634 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1...𝐵) ∈ Fin)
5 dvdsssfz1 14878 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} ⊆ (1...𝐵))
65adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} ⊆ (1...𝐵))
7 ssfi 8065 . . . . 5 (((1...𝐵) ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} ⊆ (1...𝐵)) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} ∈ Fin)
84, 6, 7syl2anc 691 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} ∈ Fin)
9 elrabi 3328 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} → 𝑘 ∈ ℕ)
10 simpl 472 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ0)
11 nnexpcl 12735 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑘𝐴) ∈ ℕ)
129, 10, 11syl2anr 494 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵}) → (𝑘𝐴) ∈ ℕ)
1312nnzd 11357 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵}) → (𝑘𝐴) ∈ ℤ)
148, 13fsumzcl 14313 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝐴) ∈ ℤ)
15 nnz 11276 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
16 iddvds 14833 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵𝐵)
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵𝐵)
18 breq1 4586 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝐵 → (𝑝𝐵𝐵𝐵))
1918rspcev 3282 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵𝐵) → ∃𝑝 ∈ ℕ 𝑝𝐵)
2017, 19mpdan 699 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℕ 𝑝𝐵)
21 rabn0 3912 . . . . . . 7 ({𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℕ 𝑝𝐵)
2220, 21sylibr 223 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} ≠ ∅)
2322adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} ≠ ∅)
2412nnrpd 11746 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵}) → (𝑘𝐴) ∈ ℝ+)
258, 23, 24fsumrpcl 14315 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝐴) ∈ ℝ+)
2625rpgt0d 11751 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 0 < Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝐴))
27 elnnz 11264 . . 3 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝐴) ∈ ℕ ↔ (Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 < Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝐴)))
2814, 26, 27sylanbrc 695 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝐴) ∈ ℕ)
293, 28eqeltrd 2688 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) ∈ ℕ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  {crab 2900   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  Σcsu 14264   ∥ cdvds 14821   σ csgm 24622 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108  df-sgm 24628 This theorem is referenced by:  perfectlem1  24754  perfectlem2  24755  perfectALTVlem1  40164  perfectALTVlem2  40165
 Copyright terms: Public domain W3C validator