Theorem sge0fodjrn 39310

Description: Re-index a nonnegative extended sum using an onto function with disjoint range, when the empty set is assigned 0 in the sum (this is true, for example, both for measures and outer measures). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0fodjrn.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0fodjrn.n	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
sge0fodjrn.bd	⊢ (𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷)
sge0fodjrn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
sge0fodjrn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–onto→𝐴)
sge0fodjrn.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑛 ∈ 𝐶 (𝐹‘𝑛))
sge0fodjrn.fng	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺)
sge0fodjrn.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0fodjrn.b0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → 𝐵 = 0)

Assertion

Ref	Expression
sge0fodjrn	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑘,𝑛   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹,𝑛   𝑘,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝑉(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem sge0fodjrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0fodjrn.k	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		sge0fodjrn.n	. 2 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
3		sge0fodjrn.bd	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷)
4		sge0fodjrn.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
5		sge0fodjrn.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–onto→𝐴)
6		sge0fodjrn.dj	. 2 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑛 ∈ 𝐶 (𝐹‘𝑛))
7		sge0fodjrn.fng	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺)
8		sge0fodjrn.b	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
9		sge0fodjrn.b0	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → 𝐵 = 0)
10		eqid 2610	. 2 ⊢ (◡𝐹 “ {∅}) = (◡𝐹 “ {∅})
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	sge0fodjrnlem 39309	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  ∅c0 3874  {csn 4125  Disj wdisj 4553   ↦ cmpt 4643  ^◡ccnv 5037   “ cima 5041  –onto→wfo 5802  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  [,]cicc 12049  Σ^{^}csumge0 39255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-sumge0 39256

This theorem is referenced by:  ismeannd  39360