Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsstruct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsstruct 15727
 Description: An extensible structure with a replaced slot is an extensible structure. (Contributed by AV, 9-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
setsstruct ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) Struct ⟨𝑀, if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)⟩))

Proof of Theorem setsstruct
StepHypRef Expression
1 simpr11 1138 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → 𝑀 ∈ ℕ)
2 simpr12 1139 . . . . . 6 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
3 eluznn 11634 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐼 ∈ ℕ)
43ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐼 ∈ ℕ))
543ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐼 ∈ ℕ))
653ad2ant1 1075 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐼 ∈ ℕ))
76com12 32 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ))
873ad2ant3 1077 . . . . . . 7 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ))
98imp 444 . . . . . 6 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → 𝐼 ∈ ℕ)
102, 9ifcld 4081 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℕ)
11 nnre 10904 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
12113ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
13 eluzelre 11574 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐼 ∈ ℝ)
1412, 13anim12i 588 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
15 nnre 10904 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
16153ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
18 simpl3 1059 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑁)
1914, 17, 183jca 1235 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁))
2019ex 449 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)))
21203ad2ant1 1075 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)))
2221com12 32 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)))
23223ad2ant3 1077 . . . . . . 7 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)))
2423imp 444 . . . . . 6 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁))
25 lemaxle 11900 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
2624, 25syl 17 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → 𝑀 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
271, 10, 263jca 1235 . . . 4 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → (𝑀 ∈ ℕ ∧ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
28 simp1 1054 . . . . . 6 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐺𝑈)
29 simp2 1055 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
3028, 29anim12i 588 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → (𝐺𝑈 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})))
31 pm3.22 464 . . . . . . 7 ((𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐸𝑉))
32313adant1 1072 . . . . . 6 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐸𝑉))
3332adantr 480 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐸𝑉))
34 setsfun0 15726 . . . . 5 (((𝐺𝑈 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐸𝑉)) → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
3530, 33, 34syl2anc 691 . . . 4 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
36 3simpa 1051 . . . . . . 7 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑈𝐸𝑉))
3736adantr 480 . . . . . 6 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → (𝐺𝑈𝐸𝑉))
38 setsdm 15724 . . . . . 6 ((𝐺𝑈𝐸𝑉) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))
3937, 38syl 17 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = (dom 𝐺 ∪ {𝐼}))
40 simp3 1056 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))
41 nnz 11276 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
42413ad2ant2 1076 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
43423ad2ant1 1075 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
44 simpl3 1059 . . . . . 6 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → 𝐼 ∈ (ℤ𝑀))
45 ssfzunsn 12257 . . . . . 6 ((dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (dom 𝐺 ∪ {𝐼}) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
4640, 43, 44, 45syl2an23an 1379 . . . . 5 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → (dom 𝐺 ∪ {𝐼}) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
4739, 46eqsstrd 3602 . . . 4 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
4827, 35, 473jca 1235 . . 3 (((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁))) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)) ∧ Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ∧ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))))
4948ex 449 . 2 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)) ∧ Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ∧ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))))
50 isstruct 15705 . 2 (𝐺 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ ↔ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑁) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝑀...𝑁)))
51 isstruct 15705 . 2 ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) Struct ⟨𝑀, if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)⟩ ↔ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)) ∧ Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ∧ dom (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))))
5249, 50, 513imtr4g 284 1 ((𝐺𝑈𝐸𝑉𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) Struct ⟨𝑀, if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)⟩))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ifcif 4036  {csn 4125  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197   Struct cstr 15691   sSet csts 15693 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-sets 15701 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator