MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setchomfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setchomfval 16552
Description: Set of arrows of the category of sets (in a universe). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcbas.c 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
setcbas.u (𝜑𝑈𝑉)
setchomfval.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
setchomfval (𝜑𝐻 = (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑦𝑚 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑈,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem setchomfval
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setcbas.c . . 3 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
2 setcbas.u . . 3 (𝜑𝑈𝑉)
3 eqidd 2611 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑦𝑚 𝑥)) = (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑦𝑚 𝑥)))
4 eqidd 2611 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧𝑈 ↦ (𝑔 ∈ (𝑧𝑚 (2nd𝑣)), 𝑓 ∈ ((2nd𝑣) ↑𝑚 (1st𝑣)) ↦ (𝑔𝑓))) = (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧𝑈 ↦ (𝑔 ∈ (𝑧𝑚 (2nd𝑣)), 𝑓 ∈ ((2nd𝑣) ↑𝑚 (1st𝑣)) ↦ (𝑔𝑓))))
51, 2, 3, 4setcval 16550 . 2 (𝜑𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑦𝑚 𝑥))⟩, ⟨(comp‘ndx), (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧𝑈 ↦ (𝑔 ∈ (𝑧𝑚 (2nd𝑣)), 𝑓 ∈ ((2nd𝑣) ↑𝑚 (1st𝑣)) ↦ (𝑔𝑓)))⟩})
6 catstr 16440 . 2 {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑦𝑚 𝑥))⟩, ⟨(comp‘ndx), (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧𝑈 ↦ (𝑔 ∈ (𝑧𝑚 (2nd𝑣)), 𝑓 ∈ ((2nd𝑣) ↑𝑚 (1st𝑣)) ↦ (𝑔𝑓)))⟩} Struct ⟨1, 15⟩
7 homid 15898 . 2 Hom = Slot (Hom ‘ndx)
8 snsstp2 4288 . 2 {⟨(Hom ‘ndx), (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑦𝑚 𝑥))⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑦𝑚 𝑥))⟩, ⟨(comp‘ndx), (𝑣 ∈ (𝑈 × 𝑈), 𝑧𝑈 ↦ (𝑔 ∈ (𝑧𝑚 (2nd𝑣)), 𝑓 ∈ ((2nd𝑣) ↑𝑚 (1st𝑣)) ↦ (𝑔𝑓)))⟩}
9 mpt2exga 7135 . . 3 ((𝑈𝑉𝑈𝑉) → (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑦𝑚 𝑥)) ∈ V)
102, 2, 9syl2anc 691 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑦𝑚 𝑥)) ∈ V)
11 setchomfval.h . 2 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
125, 6, 7, 8, 10, 11strfv3 15736 1 (𝜑𝐻 = (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑦𝑚 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  {ctp 4129  cop 4131   × cxp 5036  ccom 5042  cfv 5804  (class class class)co 6549  cmpt2 6551  1st c1st 7057  2nd c2nd 7058  𝑚 cmap 7744  1c1 9816  5c5 10950  cdc 11369  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  Hom chom 15779  compcco 15780  SetCatcsetc 16548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-hom 15793  df-cco 15794  df-setc 16549
This theorem is referenced by:  setchom  16553  setccofval  16555
  Copyright terms: Public domain W3C validator