Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salpreimaltle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salpreimaltle 39612
 Description: If all the preimages of right-open, unbounded below intervals, belong to a sigma-algebra, then all the preimages of right-closed, unbounded below intervals, belong to the sigma-algebra. (i) implies (ii) in Proposition 121B of [Fremlin1] p. 35. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salpreimaltle.x 𝑥𝜑
salpreimaltle.a 𝑎𝜑
salpreimaltle.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
salpreimaltle.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
salpreimaltle.p ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆)
salpreimaltle.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
salpreimaltle (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salpreimaltle
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 salpreimaltle.x . . 3 𝑥𝜑
2 salpreimaltle.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 salpreimaltle.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
41, 2, 3preimaleiinlt 39608 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} = 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
5 salpreimaltle.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
6 nnct 12642 . . . 4 ℕ ≼ ω
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℕ ≼ ω)
8 nnn0 38536 . . . 4 ℕ ≠ ∅
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
10 simpl 472 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
11 simpl 472 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
12 nnrecre 10934 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1312adantl 481 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1411, 13readdcld 9948 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
153, 14sylan 487 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
16 salpreimaltle.a . . . . . . 7 𝑎𝜑
17 nfv 1830 . . . . . . 7 𝑎(𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ
1816, 17nfan 1816 . . . . . 6 𝑎(𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
19 nfv 1830 . . . . . 6 𝑎{𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆
2018, 19nfim 1813 . . . . 5 𝑎((𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
21 ovex 6577 . . . . 5 (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ V
22 eleq1 2676 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → (𝑎 ∈ ℝ ↔ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ))
2322anbi2d 736 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)))
24 breq2 4587 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → (𝐵 < 𝑎𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))))
2524rabbidv 3164 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑎} = {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
2625eleq1d 2672 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆 ↔ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆))
2723, 26imbi12d 333 . . . . 5 (𝑎 = (𝐶 + (1 / 𝑛)) → (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)))
28 salpreimaltle.p . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵 < 𝑎} ∈ 𝑆)
2920, 21, 27, 28vtoclf 3231 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
3010, 15, 29syl2anc 691 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
315, 7, 9, 30saliincl 39221 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ∈ 𝑆)
324, 31eqeltrd 2688 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900  ∅c0 3874  ∩ ciin 4456   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ωcom 6957   ≼ cdom 7839  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  ℕcn 10897  SAlgcsalg 39204 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-acn 8651  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fl 12455  df-salg 39205 This theorem is referenced by:  issmfle  39632
 Copyright terms: Public domain W3C validator