Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  s3wwlks2on Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s3wwlks2on 41160
 Description: A length 3 string which represents a walk of length 2 between two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Feb-2018.) (Revised by AV, 12-May-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
s3wwlks2on.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
s3wwlks2on ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴𝑉𝐶𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑓(𝑓(1Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ (#‘𝑓) = 2)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝐶,𝑓   𝑓,𝐺
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem s3wwlks2on
StepHypRef Expression
1 s3wwlks2on.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21wwlknon 41053 . . 3 ((𝐴𝑉𝐶𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalkSN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)))
323adant1 1072 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴𝑉𝐶𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalkSN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)))
4 s3fv0 13486 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
5 s3fv2 13488 . . . . . 6 (𝐶𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
64, 5anim12i 588 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐶𝑉) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))
763adant1 1072 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴𝑉𝐶𝑉) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))
87biantrud 527 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴𝑉𝐶𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalkSN 𝐺) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalkSN 𝐺) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶))))
9 3anass 1035 . . 3 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalkSN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalkSN 𝐺) ∧ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)))
108, 9syl6rbbr 278 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴𝑉𝐶𝑉) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalkSN 𝐺) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴 ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalkSN 𝐺)))
11 1wlklnwwlknupgr 41083 . . . 4 (𝐺 ∈ UPGraph → (∃𝑓(𝑓(1Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ (#‘𝑓) = 2) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalkSN 𝐺)))
1211bicomd 212 . . 3 (𝐺 ∈ UPGraph → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalkSN 𝐺) ↔ ∃𝑓(𝑓(1Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ (#‘𝑓) = 2)))
13123ad2ant1 1075 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴𝑉𝐶𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (2 WWalkSN 𝐺) ↔ ∃𝑓(𝑓(1Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ (#‘𝑓) = 2)))
143, 10, 133bitrd 293 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐴𝑉𝐶𝑉) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ∃𝑓(𝑓(1Walks‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ (#‘𝑓) = 2)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  2c2 10947  #chash 12979  ⟨“cs3 13438  Vtxcvtx 25673   UPGraph cupgr 25747  1Walksc1wlks 40796   WWalkSN cwwlksn 41029   WWalksNOn cwwlksnon 41030 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-ac 8822  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-uhgr 25724  df-upgr 25749  df-edga 25793  df-1wlks 40800  df-wlks 40801  df-wwlks 41033  df-wwlksn 41034  df-wwlksnon 41035 This theorem is referenced by:  umgrwwlks2on  41161  elwwlks2on  41162
 Copyright terms: Public domain W3C validator