Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rusgrpropadjvtx Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The properties of a k-regular simple graph expressed with adjacent vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jul-2018.) (Revised by AV, 27-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
rusgrpropnb.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
rusgrpropadjvtx (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 (#‘{𝑘𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑘,𝐺,𝑣   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑘)   𝑉(𝑣)

StepHypRef Expression
1 rusgrpropnb.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21rusgrpropnb 40783 . 2 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 (#‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾))
3 simp1 1054 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 (#‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → 𝐺 ∈ USGraph )
4 simp2 1055 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 (#‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0*)
5 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
61, 5nbusgrvtx 40570 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = {𝑘𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)})
76fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣𝑉) → (#‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = (#‘{𝑘𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}))
87eqcomd 2616 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣𝑉) → (#‘{𝑘𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = (#‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
98adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣𝑉) ∧ (#‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → (#‘{𝑘𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = (#‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
10 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣𝑉) ∧ (#‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → (#‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾)
119, 10eqtrd 2644 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣𝑉) ∧ (#‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → (#‘{𝑘𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾)
1211ex 449 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣𝑉) → ((#‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 → (#‘{𝑘𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
1312ralimdva 2945 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph → (∀𝑣𝑉 (#‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾 → ∀𝑣𝑉 (#‘{𝑘𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
1413imp 444 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣𝑉 (#‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → ∀𝑣𝑉 (#‘{𝑘𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾)
15143adant2 1073 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 (#‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → ∀𝑣𝑉 (#‘{𝑘𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾)
163, 4, 153jca 1235 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 (#‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = 𝐾) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 (#‘{𝑘𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
172, 16syl 17 1 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 (#‘{𝑘𝑉 ∣ {𝑣, 𝑘} ∈ (Edg‘𝐺)}) = 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℕ0*cxnn0 11240  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  Edgcedga 25792   USGraph cusgr 40379   NeighbVtx cnbgr 40550   RegUSGraph crusgr 40756 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-hash 12980  df-uhgr 25724  df-ushgr 25725  df-upgr 25749  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-uspgr 40380  df-usgr 40381  df-nbgr 40554  df-vtxdg 40682  df-rgr 40757  df-rusgr 40758 This theorem is referenced by:  rusgrnumwrdl2  40786  rusgrnumwwlks  41177
 Copyright terms: Public domain W3C validator