Theorem ruclem2 14800

Description: Lemma for ruc 14811. Ordering property for the input to 𝐷. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ruc.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
ruc.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋(((1st ‘𝑥) + (2nd ‘𝑥)) / 2) / 𝑚⦌if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st ‘𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd ‘𝑥)) / 2), (2nd ‘𝑥)⟩)))
ruclem1.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ruclem1.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ruclem1.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
ruclem1.6	⊢ 𝑋 = (1st ‘(⟨𝐴, 𝐵⟩𝐷𝑀))
ruclem1.7	⊢ 𝑌 = (2nd ‘(⟨𝐴, 𝐵⟩𝐷𝑀))
ruclem2.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ruclem2	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦   𝑚,𝑀,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑚)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑚)   𝑌(𝑥,𝑦,𝑚)

Proof of Theorem ruclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ruclem1.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	leidd 10473	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
3		ruclem1.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	1, 3	readdcld 9948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	rehalfcld 11156	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
6	5, 3	readdcld 9948	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) ∈ ℝ)
7	6	rehalfcld 11156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
8		ruclem2.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
9		avglt1 11147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
10	1, 3, 9	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
11	8, 10	mpbid 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2))
12		avglt2 11148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
13	1, 3, 12	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
14	8, 13	mpbid 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵)
15		avglt1 11147	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
16	5, 3, 15	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
17	14, 16	mpbid 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
18	1, 5, 7, 11, 17	lttrd 10077	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
19	1, 7, 18	ltled 10064	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
20		breq2 4587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))))
21		breq2 4587	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) → (𝐴 ≤ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) ↔ 𝐴 ≤ if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))))
22	20, 21	ifboth 4074	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) → 𝐴 ≤ if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
23	2, 19, 22	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
24		ruc.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
25		ruc.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋(((1st ‘𝑥) + (2nd ‘𝑥)) / 2) / 𝑚⦌if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st ‘𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd ‘𝑥)) / 2), (2nd ‘𝑥)⟩)))
26		ruclem1.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
27		ruclem1.6	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (1st ‘(⟨𝐴, 𝐵⟩𝐷𝑀))
28		ruclem1.7	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (2nd ‘(⟨𝐴, 𝐵⟩𝐷𝑀))
29	24, 25, 1, 3, 26, 27, 28	ruclem1 14799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝐴, 𝐵⟩𝐷𝑀) ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑋 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) ∧ 𝑌 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵)))
30	29	simp2d 1067	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
31	23, 30	breqtrrd 4611	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑋)
32		iftrue 4042	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) = 𝐴)
33		iftrue 4042	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
34	32, 33	breq12d 4596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → (if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) < if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
35	11, 34	syl5ibrcom 236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) < if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵)))
36		avglt2 11148	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) < 𝐵))
37	5, 3, 36	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) < 𝐵))
38	14, 37	mpbid 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) < 𝐵)
39		iffalse 4045	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) = ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
40		iffalse 4045	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) = 𝐵)
41	39, 40	breq12d 4596	. . . . 5 ⊢ (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → (if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) < if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) ↔ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) < 𝐵))
42	38, 41	syl5ibrcom 236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) < if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵)))
43	35, 42	pm2.61d 169	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) < if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵))
44	29	simp3d 1068	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵))
45	43, 30, 44	3brtr4d 4615	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
46	5, 3, 14	ltled 10064	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐵)
47	3	leidd 10473	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐵)
48		breq1 4586	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) / 2) = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐵 ↔ if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) ≤ 𝐵))
49		breq1 4586	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐵 ↔ if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) ≤ 𝐵))
50	48, 49	ifboth 4074	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵) → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) ≤ 𝐵)
51	46, 47, 50	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) ≤ 𝐵)
52	44, 51	eqbrtrd 4605	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝐵)
53	31, 45, 52	3jca 1235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⦋csb 3499  ifcif 4036  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   × cxp 5036  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  1^st c1st 7057  2^nd c2nd 7058  ℝcr 9814   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956

This theorem is referenced by:  ruclem8  14805  ruclem9  14806