Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rspsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rspsn 19075
 Description: Membership in principal ideals is closely related to divisibility. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rspsn.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rspsn.k 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rspsn.d = (∥r𝑅)
Assertion
Ref Expression
rspsn ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥𝐺 𝑥})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝐺   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,

Proof of Theorem rspsn
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqcom 2617 . . . . 5 (𝑥 = (𝑎(.r𝑅)𝐺) ↔ (𝑎(.r𝑅)𝐺) = 𝑥)
21a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝑥 = (𝑎(.r𝑅)𝐺) ↔ (𝑎(.r𝑅)𝐺) = 𝑥))
32rexbidv 3034 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (∃𝑎𝐵 𝑥 = (𝑎(.r𝑅)𝐺) ↔ ∃𝑎𝐵 (𝑎(.r𝑅)𝐺) = 𝑥))
4 rlmlmod 19026 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
5 rlmsca2 19022 . . . . 5 ( I ‘𝑅) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
6 baseid 15747 . . . . . 6 Base = Slot (Base‘ndx)
7 rspsn.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
86, 7strfvi 15741 . . . . 5 𝐵 = (Base‘( I ‘𝑅))
9 rlmbas 19016 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
107, 9eqtri 2632 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
11 rlmvsca 19023 . . . . 5 (.r𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
12 rspsn.k . . . . . 6 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
13 rspval 19014 . . . . . 6 (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
1412, 13eqtri 2632 . . . . 5 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
155, 8, 10, 11, 14lspsnel 18824 . . . 4 (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐺𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ ∃𝑎𝐵 𝑥 = (𝑎(.r𝑅)𝐺)))
164, 15sylan 487 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ ∃𝑎𝐵 𝑥 = (𝑎(.r𝑅)𝐺)))
17 rspsn.d . . . . 5 = (∥r𝑅)
18 eqid 2610 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
197, 17, 18dvdsr2 18470 . . . 4 (𝐺𝐵 → (𝐺 𝑥 ↔ ∃𝑎𝐵 (𝑎(.r𝑅)𝐺) = 𝑥))
2019adantl 481 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐺 𝑥 ↔ ∃𝑎𝐵 (𝑎(.r𝑅)𝐺) = 𝑥))
213, 16, 203bitr4d 299 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ 𝐺 𝑥))
2221abbi2dv 2729 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥𝐺 𝑥})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596  ∃wrex 2897  {csn 4125   class class class wbr 4583   I cid 4948  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  Ringcrg 18370  ∥rcdsr 18461  LModclmod 18686  LSpanclspn 18792  ringLModcrglmod 18990  RSpancrsp 18992 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-dvdsr 18464  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-rsp 18996 This theorem is referenced by:  lidldvgen  19076  zndvds  19717
 Copyright terms: Public domain W3C validator