Theorem rrxprds 22985

Description: Expand the definition of the generalized real Euclidean spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxval.r	⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
rrxprds	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐻 = (toℂHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))

Proof of Theorem rrxprds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxval.r	. . 3 ⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
2	1	rrxval 22983	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐻 = (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
3		refld 19784	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ Field
4		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
5		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
6	4, 5	frlmpws 19913	. . . . 5 ⊢ ((ℝfld ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (ℝfld freeLMod 𝐼) = (((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
7	3, 6	mpan 702	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (ℝfld freeLMod 𝐼) = (((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
8		fvex 6113	. . . . . . 7 ⊢ ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) ∈ V
9		rlmval 19012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘(Base‘ℝfld))
10		rebase 19771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
11	10	fveq2i 6106	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘(Base‘ℝfld))
12	9, 11	eqtr4i 2635	. . . . . . . . 9 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)
13	12	oveq1i 6559	. . . . . . . 8 ⊢ ((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) = (((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) ↑s 𝐼)
14	10	ressid 15762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝfld ∈ Field → (ℝfld ↾s ℝ) = ℝfld)
15	3, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝfld ↾s ℝ) = ℝfld
16		eqidd 2611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ))
17	10	eqimssi 3622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ (Base‘ℝfld)
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ (Base‘ℝfld))
19	16, 18	srasca 19002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (ℝfld ↾s ℝ) = (Scalar‘((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)))
20	19	trud 1484	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝfld ↾s ℝ) = (Scalar‘((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ))
21	15, 20	eqtr3i 2634	. . . . . . . 8 ⊢ ℝfld = (Scalar‘((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ))
22	13, 21	pwsval 15969	. . . . . . 7 ⊢ ((((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) = (ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})))
23	8, 22	mpan 702	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) = (ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})))
24	23	eqcomd 2616	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) = ((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼))
25	2	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐻) = (Base‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
26		rrxbase.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
27		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
28	27, 5	tchbas 22826	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
29	25, 26, 28	3eqtr4g 2669	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
30	24, 29	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
31	7, 30	eqtr4d 2647	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (ℝfld freeLMod 𝐼) = ((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))
32	31	fveq2d 6107	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))
33	2, 32	eqtrd 2644	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐻 = (toℂHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {csn 4125   × cxp 5036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  Basecbs 15695   ↾_s cress 15696  Scalarcsca 15771  X_scprds 15929   ↑_s cpws 15930  Fieldcfield 18571  subringAlg csra 18989  ringLModcrglmod 18990  ℝ_fldcrefld 19769   freeLMod cfrlm 19909  toℂHilctch 22775  ℝ^crrx 22979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-field 18573  df-subrg 18601  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-cnfld 19568  df-refld 19770  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-tng 22199  df-tch 22777  df-rrx 22981

This theorem is referenced by:  rrxip  22986