Theorem rpnnen1lem1OLD 11697

Description: Lemma for rpnnen1OLD 11701. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) Obsolete version of rpnnen1lem1 11691 as of 13-Aug-2021. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpnnen1.1OLD	⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
rpnnen1.2OLD	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen1lem1OLD	⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) ∈ (ℚ ↑𝑚 ℕ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem rpnnen1lem1OLD

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 10903	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	mptex 6390	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)) ∈ V
3		rpnnen1.2OLD	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
4	3	fvmpt2 6200	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)) ∈ V) → (𝐹‘𝑥) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
5	2, 4	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
6		rpnnen1.1OLD	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
7		ssrab2 3650	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ⊆ ℤ
8	6, 7	eqsstri 3598	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ⊆ ℤ
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑇 ⊆ ℤ)
10		nnre 10904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
11		remulcl 9900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
12	11	ancoms 468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
13	10, 12	sylan2 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
14		btwnz 11355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥) ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑥) < 𝑛))
15	14	simpld 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥))
16	13, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥))
17		zre 11258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
19		simpll 786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℝ)
20		nngt0 10926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
21	10, 20	jca 553	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
22	21	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
23		ltdivmul 10777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → ((𝑛 / 𝑘) < 𝑥 ↔ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥)))
24	18, 19, 22, 23	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 / 𝑘) < 𝑥 ↔ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥)))
25	24	rexbidva 3031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥)))
26	16, 25	mpbird 246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥)
27		rabn0 3912	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥)
28	26, 27	sylibr 223	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ≠ ∅)
29	6	neeq1i 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ≠ ∅ ↔ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ≠ ∅)
30	28, 29	sylibr 223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑇 ≠ ∅)
31	6	rabeq2i 3170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑇 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥))
32	10	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
33	32, 19, 11	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
34		ltle 10005	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ) → (𝑛 < (𝑘 · 𝑥) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
35	18, 33, 34	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 < (𝑘 · 𝑥) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
36	24, 35	sylbid 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 / 𝑘) < 𝑥 → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
37	36	impr 647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥)) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥))
38	31, 37	sylan2b 491	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑇) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥))
39	38	ralrimiva 2949	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥))
40		breq2 4587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑘 · 𝑥) → (𝑛 ≤ 𝑦 ↔ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
41	40	ralbidv 2969	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑘 · 𝑥) → (∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
42	41	rspcev 3282	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ 𝑦)
43	13, 39, 42	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ 𝑦)
44		suprzcl 11333	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ⊆ ℤ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑇 𝑛 ≤ 𝑦) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
45	9, 30, 43, 44	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
46	8, 45	sseldi 3566	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℤ)
47		znq 11668	. . . . 5 ⊢ ((sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘) ∈ ℚ)
48	46, 47	sylancom 698	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘) ∈ ℚ)
49		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))
50	48, 49	fmptd 6292	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)):ℕ⟶ℚ)
51		qex 11676	. . . 4 ⊢ ℚ ∈ V
52	51, 1	elmap 7772	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)) ∈ (ℚ ↑𝑚 ℕ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)):ℕ⟶ℚ)
53	50, 52	sylibr 223	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)) ∈ (ℚ ↑𝑚 ℕ))
54	5, 53	eqeltrd 2688	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) ∈ (ℚ ↑𝑚 ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744  supcsup 8229  ℝcr 9814  0cc0 9815   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ℚcq 11664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-q 11665

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem3OLD  11698  rpnnen1lem4OLD  11699  rpnnen1lem5OLD  11700  rpnnen1OLD  11701