Theorem rlimi 14092

Description: Convergence at infinity of a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimi.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
rlimi.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
rlimi.3	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rlimi	⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅,𝑧   𝑧,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem rlimi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimi.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
2		rlimi.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
3		rlimf 14080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ)
5		rlimi.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
6		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
7	6	fmpt 6289	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑉)
8	5, 7	sylib 207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑉)
9		fdm 5964	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝑉 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
11	10	feq2d 5944	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ))
12	4, 11	mpbid 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
13	6	fmpt 6289	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
14	12, 13	sylibr 223	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
15		rlimss 14081	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
16	2, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
17	10, 16	eqsstr3d 3603	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
18		rlimcl 14082	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → 𝐶 ∈ ℂ)
19	2, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
20	14, 17, 19	rlim2 14075	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥)))
21	2, 20	mpbid 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥))
22		breq2 4587	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅))
23	22	imbi2d 329	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → ((𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) ↔ (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅)))
24	23	rexralbidv 3040	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅)))
25	24	rspcv 3278	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅)))
26	1, 21, 25	sylc 63	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℝ⁺crp 11708  abscabs 13822   ⇝_𝑟 crli 14064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-pm 7747  df-rlim 14068

This theorem is referenced by:  rlimi2  14093  rlimclim1  14124  rlimuni  14129  rlimcld2  14157  rlimcn1  14167  rlimcn2  14169  rlimo1  14195  o1rlimmul  14197  rlimno1  14232  xrlimcnp  24495  rlimcxp  24500  chtppilimlem2  24963  dchrisumlem3  24980