Theorem rlimconst 14123

Description: A constant sequence converges to its value. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rlimconst	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem rlimconst

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 9919	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		simpllr 795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	subidd 10259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
4	3	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) = (abs‘0))
5		abs0 13873	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘0) = 0
6	4, 5	syl6eq 2660	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) = 0)
7		rpgt0 11720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
8	7	ad2antlr 759	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 < 𝑦)
9	6, 8	eqbrtrd 4605	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦)
10	9	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦))
11	10	ralrimiva 2949	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦))
12		breq1 4586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑥))
13	12	imbi1d 330	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦) ↔ (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦)))
14	13	ralbidv 2969	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 0 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦)))
15	14	rspcev 3282	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (0 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦))
16	1, 11, 15	sylancr 694	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦))
17	16	ralrimiva 2949	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦))
18		simplr 788	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	18	ralrimiva 2949	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
20		simpl 472	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
21		simpr 476	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	19, 20, 21	rlim2 14075	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑧 ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐵 − 𝐵)) < 𝑦)))
23	17, 22	mpbird 246	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℝ⁺crp 11708  abscabs 13822   ⇝_𝑟 crli 14064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-rlim 14068

This theorem is referenced by:  o1const  14198  rlimneg  14225  caucvgr  14254  fsumrlim  14384  dvfsumrlimge0  23597  dvfsumrlim2  23599  logexprlim  24750  chebbnd2  24966  chto1lb  24967  chpchtlim  24968  dchrisum0lem1  25005  selberglem2  25035  signsplypnf  29953