Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringinvnzdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringinvnzdiv 18416
 Description: In a unitary ring, a left invertible element is not a zero divisor. (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Revised by Jeff Madsen, 18-Apr-2010.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ringinvnzdiv.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringinvnzdiv.t · = (.r𝑅)
ringinvnzdiv.u 1 = (1r𝑅)
ringinvnzdiv.z 0 = (0g𝑅)
ringinvnzdiv.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringinvnzdiv.x (𝜑𝑋𝐵)
ringinvnzdiv.a (𝜑 → ∃𝑎𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 )
ringinvnzdiv.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
ringinvnzdiv (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))
Distinct variable groups:   𝑋,𝑎   0 ,𝑎   1 ,𝑎   · ,𝑎   𝜑,𝑎   𝑌,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem ringinvnzdiv
StepHypRef Expression
1 ringinvnzdiv.a . . 3 (𝜑 → ∃𝑎𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 )
2 ringinvnzdiv.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3 ringinvnzdiv.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝐵)
4 ringinvnzdiv.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 ringinvnzdiv.t . . . . . . . . . 10 · = (.r𝑅)
6 ringinvnzdiv.u . . . . . . . . . 10 1 = (1r𝑅)
74, 5, 6ringlidm 18394 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵) → ( 1 · 𝑌) = 𝑌)
82, 3, 7syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( 1 · 𝑌) = 𝑌)
98eqcomd 2616 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 = ( 1 · 𝑌))
109ad3antrrr 762 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → 𝑌 = ( 1 · 𝑌))
11 oveq1 6556 . . . . . . . . . 10 ( 1 = (𝑎 · 𝑋) → ( 1 · 𝑌) = ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌))
1211eqcoms 2618 . . . . . . . . 9 ((𝑎 · 𝑋) = 1 → ( 1 · 𝑌) = ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌))
1312adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ( 1 · 𝑌) = ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌))
142adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
15 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑎𝐵)
16 ringinvnzdiv.x . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋𝐵)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑋𝐵)
183adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑌𝐵)
1915, 17, 183jca 1235 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑎𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵))
2014, 19jca 553 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)))
2120adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)))
224, 5ringass 18387 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ((𝑎 · 𝑋) · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
2413, 23eqtrd 2644 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → ( 1 · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
2524adantr 480 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → ( 1 · 𝑌) = (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)))
26 oveq2 6557 . . . . . . 7 ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)) = (𝑎 · 0 ))
27 ringinvnzdiv.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑅)
284, 5, 27ringrz 18411 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
292, 28sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
3029adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) → (𝑎 · 0 ) = 0 )
3126, 30sylan9eqr 2666 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → (𝑎 · (𝑋 · 𝑌)) = 0 )
3210, 25, 313eqtrd 2648 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑎 · 𝑋) = 1 ) ∧ (𝑋 · 𝑌) = 0 ) → 𝑌 = 0 )
3332exp31 628 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑎 · 𝑋) = 1 → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 )))
3433rexlimdva 3013 . . 3 (𝜑 → (∃𝑎𝐵 (𝑎 · 𝑋) = 1 → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 )))
351, 34mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))
36 oveq2 6557 . . . 4 (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0 ))
374, 5, 27ringrz 18411 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
382, 16, 37syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · 0 ) = 0 )
3936, 38sylan9eqr 2666 . . 3 ((𝜑𝑌 = 0 ) → (𝑋 · 𝑌) = 0 )
4039ex 449 . 2 (𝜑 → (𝑌 = 0 → (𝑋 · 𝑌) = 0 ))
4135, 40impbid 201 1 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0𝑌 = 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  0gc0g 15923  1rcur 18324  Ringcrg 18370 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator