Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmsubcrngclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmsubcrngclem2 41820
 Description: Lemma 2 for rhmsubcrngc 41821. (Contributed by AV, 12-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmsubcrngc.c 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rhmsubcrngc.u (𝜑𝑈𝑉)
rhmsubcrngc.b (𝜑𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
rhmsubcrngc.h (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
rhmsubcrngclem2 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑈,𝑦   𝜑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑧,𝑓,𝑔)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rhmsubcrngclem2
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝜑)
21ad2antrr 758 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝜑)
3 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦𝐵𝑧𝐵))
43adantr 480 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑦𝐵𝑧𝐵))
5 simprr 792 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))
6 rhmsubcrngc.h . . . . . . 7 (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
76rhmresel 41802 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))
82, 4, 5, 7syl3anc 1318 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))
9 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
10 simpl 472 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → 𝑦𝐵)
119, 10anim12i 588 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
1211adantr 480 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
13 simprl 790 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦))
146rhmresel 41802 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦))
152, 12, 13, 14syl3anc 1318 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦))
16 rhmco 18560 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
178, 15, 16syl2anc 691 . . . 4 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
18 rhmsubcrngc.c . . . . 5 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
19 rhmsubcrngc.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝑉)
2019adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑈𝑉)
2120ad2antrr 758 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑈𝑉)
22 eqid 2610 . . . . 5 (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
23 rhmsubcrngc.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
2423eleq2d 2673 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
25 elinel2 3762 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥𝑈)
2624, 25syl6bi 242 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥𝑈))
2726imp 444 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
2827ad2antrr 758 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑥𝑈)
2923eleq2d 2673 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
30 elinel2 3762 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑦𝑈)
3129, 30syl6bi 242 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑦𝑈))
3231adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑦𝐵𝑦𝑈))
3332com12 32 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 → ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑦𝑈))
3433adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑦𝑈))
3534impcom 445 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦𝑈)
3635adantr 480 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑦𝑈)
3723eleq2d 2673 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑧𝐵𝑧 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
38 elinel2 3762 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑧𝑈)
3937, 38syl6bi 242 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧𝐵𝑧𝑈))
4039adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑧𝐵𝑧𝑈))
4140adantld 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → 𝑧𝑈))
4241imp 444 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧𝑈)
4342adantr 480 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑧𝑈)
44 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) → 𝜑)
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝜑)
469anim1i 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
4746ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
4847adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
49 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦))
5045, 48, 49, 14syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦))
51 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
52 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑦) = (Base‘𝑦)
5351, 52rhmf 18549 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
5450, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦𝐵 ∧ (𝜑𝑥𝐵)) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
5554exp31 628 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐵 → ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))))
5655adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))))
5756impcom 445 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
5857com12 32 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
5958adantr 480 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
6059impcom 445 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
6173expa 1257 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))
62 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑧) = (Base‘𝑧)
6352, 62rhmf 18549 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
6461, 63syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
6564ex 449 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
6665adantlr 747 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
6766adantld 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
6867imp 444 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
6918, 21, 22, 28, 36, 43, 60, 68rngcco 41763 . . . 4 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (𝑔𝑓))
706adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
7170oveqdr 6573 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑧))
72 ovres 6698 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑧𝐵) → (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
7372ad2ant2l 778 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
7471, 73eqtrd 2644 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
7574adantr 480 . . . 4 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
7617, 69, 753eltr4d 2703 . . 3 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
7776ralrimivva 2954 . 2 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
7877ralrimivva 2954 1 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ∩ cin 3539  ⟨cop 4131   × cxp 5036   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  compcco 15780  Ringcrg 18370   RingHom crh 18535  RngCatcrngc 41749 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-resc 16294  df-estrc 16586  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-rnghom 18538  df-rnghomo 41677  df-rngc 41751 This theorem is referenced by:  rhmsubcrngc  41821
 Copyright terms: Public domain W3C validator