Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmdvdsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmdvdsr 29149
 Description: A ring homomorphism preserves the divisibility relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmdvdsr.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
rhmdvdsr.m = (∥r𝑅)
rhmdvdsr.n / = (∥r𝑆)
Assertion
Ref Expression
rhmdvdsr (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → (𝐹𝐴) / (𝐹𝐵))

Proof of Theorem rhmdvdsr
Dummy variables 𝑦 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1057 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2 simpl2 1058 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → 𝐴𝑋)
3 rhmdvdsr.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
53, 4rhmf 18549 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑆))
65ffvelrnda 6267 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ (Base‘𝑆))
71, 2, 6syl2anc 691 . 2 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → (𝐹𝐴) ∈ (Base‘𝑆))
8 simpll1 1093 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑐𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
9 simpr 476 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑐𝑋) → 𝑐𝑋)
105ffvelrnda 6267 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐹𝑐) ∈ (Base‘𝑆))
118, 9, 10syl2anc 691 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐹𝑐) ∈ (Base‘𝑆))
1211ralrimiva 2949 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → ∀𝑐𝑋 (𝐹𝑐) ∈ (Base‘𝑆))
132adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑐𝑋) → 𝐴𝑋)
14 eqid 2610 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
15 eqid 2610 . . . . . . . 8 (.r𝑆) = (.r𝑆)
163, 14, 15rhmmul 18550 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑐𝑋𝐴𝑋) → (𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
178, 9, 13, 16syl3anc 1318 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
1817ralrimiva 2949 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → ∀𝑐𝑋 (𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
19 simpr 476 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → 𝐴 𝐵)
20 rhmdvdsr.m . . . . . . . 8 = (∥r𝑅)
213, 20, 14dvdsr2 18470 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑐𝑋 (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵))
2221biimpac 502 . . . . . 6 ((𝐴 𝐵𝐴𝑋) → ∃𝑐𝑋 (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵)
2319, 2, 22syl2anc 691 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → ∃𝑐𝑋 (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵)
24 r19.29 3054 . . . . . 6 ((∀𝑐𝑋 (𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ∧ ∃𝑐𝑋 (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵) → ∃𝑐𝑋 ((𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ∧ (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵))
25 simpl 472 . . . . . . . 8 (((𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ∧ (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵) → (𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
26 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ∧ (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵) → (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵)
2726fveq2d 6107 . . . . . . . 8 (((𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ∧ (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵) → (𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = (𝐹𝐵))
2825, 27eqtr3d 2646 . . . . . . 7 (((𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ∧ (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵) → ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵))
2928reximi 2994 . . . . . 6 (∃𝑐𝑋 ((𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ∧ (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵) → ∃𝑐𝑋 ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵))
3024, 29syl 17 . . . . 5 ((∀𝑐𝑋 (𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ∧ ∃𝑐𝑋 (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵) → ∃𝑐𝑋 ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵))
3118, 23, 30syl2anc 691 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → ∃𝑐𝑋 ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵))
32 r19.29 3054 . . . 4 ((∀𝑐𝑋 (𝐹𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑐𝑋 ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵)) → ∃𝑐𝑋 ((𝐹𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵)))
3312, 31, 32syl2anc 691 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → ∃𝑐𝑋 ((𝐹𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵)))
34 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐹𝑐) → (𝑦(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
3534eqeq1d 2612 . . . . 5 (𝑦 = (𝐹𝑐) → ((𝑦(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵) ↔ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵)))
3635rspcev 3282 . . . 4 (((𝐹𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵)) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝑦(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵))
3736rexlimivw 3011 . . 3 (∃𝑐𝑋 ((𝐹𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵)) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝑦(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵))
3833, 37syl 17 . 2 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝑦(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵))
39 rhmdvdsr.n . . 3 / = (∥r𝑆)
404, 39, 15dvdsr 18469 . 2 ((𝐹𝐴) / (𝐹𝐵) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝑦(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵)))
417, 38, 40sylanbrc 695 1 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → (𝐹𝐴) / (𝐹𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  ∥rcdsr 18461   RingHom crh 18535 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mhm 17158  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-dvdsr 18464  df-rnghom 18538 This theorem is referenced by:  elrhmunit  29151
 Copyright terms: Public domain W3C validator