Theorem rhmdvd 29152

Description: A ring homomorphism preserves ratios. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmdvd.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑆)
rhmdvd.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
rhmdvd.d	⊢ / = (/r‘𝑆)
rhmdvd.m	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rhmdvd	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → ((𝐹‘𝐴) / (𝐹‘𝐵)) = ((𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) / (𝐹‘(𝐵 · 𝐶))))

Proof of Theorem rhmdvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1054	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2		simp21 1087	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		simp23 1089	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐶 ∈ 𝑋)
4		rhmdvd.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
5		rhmdvd.m	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
7	4, 5, 6	rhmmul 18550	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) = ((𝐹‘𝐴)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐶)))
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) = ((𝐹‘𝐴)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐶)))
9		simp22 1088	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
10	4, 5, 6	rhmmul 18550	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐶)))
11	1, 9, 3, 10	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹‘(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐶)))
12	8, 11	oveq12d 6567	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → ((𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) / (𝐹‘(𝐵 · 𝐶))) = (((𝐹‘𝐴)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐶)) / ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐶))))
13		rhmrcl2 18543	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
14	13	3ad2ant1 1075	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝑆 ∈ Ring)
15		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
16	4, 15	rhmf 18549	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑆))
17	16	3ad2ant1 1075	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑆))
18	17, 2	ffvelrnd 6268	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘𝑆))
19		simp3l 1082	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈)
20		simp3r 1083	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)
21		rhmdvd.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑆)
22		rhmdvd.d	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑆)
23	15, 21, 22, 6	dvrcan5 29124	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐹‘𝐴) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → (((𝐹‘𝐴)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐶)) / ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐶))) = ((𝐹‘𝐴) / (𝐹‘𝐵)))
24	14, 18, 19, 20, 23	syl13anc 1320	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → (((𝐹‘𝐴)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐶)) / ((𝐹‘𝐵)(.r‘𝑆)(𝐹‘𝐶))) = ((𝐹‘𝐴) / (𝐹‘𝐵)))
25	12, 24	eqtr2d 2645	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ ((𝐹‘𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑈)) → ((𝐹‘𝐴) / (𝐹‘𝐵)) = ((𝐹‘(𝐴 · 𝐶)) / (𝐹‘(𝐵 · 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  ._rcmulr 15769  Ringcrg 18370  Unitcui 18462  /_rcdvr 18505   RingHom crh 18535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538

This theorem is referenced by:  qqhval2lem  29353  qqhghm  29360  qqhrhm  29361