Theorem rexzrexnn0 36386

Description: Rewrite a quantification over integers into a quantification over naturals. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexzrexnn0.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
rexzrexnn0.2	⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
rexzrexnn0	⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)

Proof of Theorem rexzrexnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 11269	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ -𝑥 ∈ ℕ0)))
2	1	simprbi 479	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ -𝑥 ∈ ℕ0))
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ -𝑥 ∈ ℕ0))
4		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
5		simplr 788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝜑)
6		rexzrexnn0.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
7	6	equcoms 1934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	7	bicomd 212	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝜓 ↔ 𝜑))
9	8	rspcev 3282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓)
10	4, 5, 9	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓)
11	10	ex 449	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ ℕ0 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓))
12		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℕ0) → -𝑥 ∈ ℕ0)
13		zcn 11259	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
14	13	negnegd 10262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → --𝑥 = 𝑥)
15	14	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 = --𝑥)
16		negeq 10152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → -𝑦 = --𝑥)
17	16	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑥 = --𝑥))
18	15, 17	syl5ibrcom 236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑦 = -𝑥 → 𝑥 = -𝑦))
19	18	imp 444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → 𝑥 = -𝑦)
20		rexzrexnn0.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜒))
22	21	bicomd 212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜒 ↔ 𝜑))
23	22	adantlr 747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜒 ↔ 𝜑))
24	12, 23	rspcedv 3286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℕ0) → (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒))
25	24	impancom 455	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (-𝑥 ∈ ℕ0 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒))
26	11, 25	orim12d 879	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∨ -𝑥 ∈ ℕ0) → (∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓 ∨ ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒)))
27	3, 26	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓 ∨ ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒))
28		r19.43 3074	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒) ↔ (∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓 ∨ ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒))
29	27, 28	sylibr 223	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒))
30	29	rexlimiva 3010	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒))
31		nn0z 11277	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
32	6	rspcev 3282	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
33	31, 32	sylan 487	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
34		nn0negz 11292	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → -𝑦 ∈ ℤ)
35	20	rspcev 3282	. . . . 5 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝜒) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
36	34, 35	sylan 487	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝜒) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
37	33, 36	jaodan 822	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
38	37	rexlimiva 3010	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
39	30, 38	impbii 198	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  ℝcr 9814  -cneg 10146  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255

This theorem is referenced by:  dvdsrabdioph  36392